¿En cuantas ternas pitagóricas? (1)

No todos los números naturales pueden ser hipotenusas o catetos en una terna pitagórica. Por ejemplo, el 23 no es ni uno ni otro. Otros números pertenecen a varias ternas distintas, como ocurre, por ejemplo, con el número 27925, que es hipotenusa en siete ternas y cateto en una:

Como hipotenusa: 27925^27=2004^2+27853^2=5875^2+27300^2=7819^2+26808^2=11680^2+25365^2=13284^2+24563^2=16755^2+22340^2=18315^2+21080^2

Como cateto: 27925^2=72605^2-67020^2

¿De qué depende esto?

Lo veremos por separado, ya que necesitamos teorías distintas.

Un número como hipotenusa

Estudio teórico

En entradas anteriores de mi blog se ha estudiado bien la descomposición de un número en suma de cuadrados. Recientemente he encontrado un documento que lo explica claramente:

https://www.math.purdue.edu/~jlipman/MA598/sums-of-two-squares.pdf

En nuestro caso, el número a descomponer es el cuadrado de la hipotenusa, por lo que se le puede aplicar tres criterios contenidos en el mismo. Si descomponemos N en sus factores primos resultará:

El factor 2 no influye en el número de cuadrados y se puede ignorar. La razón, según se explica en el documento, es la igualdad

(x+y)²+(x-y)² = 2(x²+y²)

La primera suma es par, luego los dos cuadrados tienen la misma paridad, lo que justifica que se puedan expresar como suma y diferencia de dos números naturales. Según el segundo miembro, su mitad también será una suma de cuadrados. Así que podemos dividir el número a estudiar entre 2 todas las veces que deseemos, porque el número de sumas de cuadrados no cambiará.

Los factores primos del tipo 4k+3, que suelen impedir la descomposición en dos cuadrados, figurarán todos con exponentes pares, por ser un cuadrado, por lo que, según la teoría, tampoco impiden la descomposición, y tampoco aportan nuevas soluciones. Se pueden ignorar.

Los factores del tipo 4K+1 son los que facilitan la descomposición en suma de dos cuadrados, y según el documento citado (siguiendo a Gauss) producirán un número de resultados dado por la fórmula

(La imagen es un recorte del documento)

Nos interesa el caso inferior, aplicable a cuadrados. En la fórmula, e_r es el exponente de un factor primo del tipo 4K+1, únicos que nos interesan.

Sólo serán hipotenusas de ternas pitagóricas los números que contengan factores del tipo 4k+1.

El número de ternas de las que puede ser hipotenusa un número dado sólo depende de la signatura prima (conjunto de exponentes) y no de los números primos presentes (si son del tipo 4K+1)

Lo aplicamos al ejemplo 27925. Su descomposición factorial es 5²*1117. Ambos primos son del tipo 4K+1, luego nos interesan los exponentes de su cuadrado, que serían 4 y 2 respectivamente. Luego, por la fórmula de la imagen de más arriba:

S(n)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Ese fue el número de sumas de dos cuadrados (y por tanto ternas pitagóricas) que figuran al principio de este estudio.

Probaremos con otro ejemplo: 1980=2²*3²*5*11.

En su cuadrado no influirán los factores 2, 3 ni 11 (el 2 y los del tipo 4K+3), luego sólo usaremos los exponentes del cuadrado de 5, es decir:

S(1980)=((2+1)-1)/2=1

En efecto, usando una función que se presentará más adelante se obtiene el resultado

1:: =1188^2+1584^2

Obtención de las sumas de cuadrados

La siguiente función en VBasic resuelve la búsqueda de esas sumas. En ella se va formando un cuadrado como suma de impares, la variable k.

Function espitag(n) As String

Dim k, p, d, m

Dim s$

 

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de sumas

k = 1: p = 3 ‘Inicio de los cuadrados mediante suma de impares

While k < n * n / 2 ‘Probamos el primer cuadrado de la suma

d = n * n – k ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(d) Then ‘Nueva solución para la suma de cuadrados

m = m + 1

s = s + "=" + ajusta(Sqr(k)) + "^2+" + ajusta(Sqr(d)) + "^2"

End If

k = k + p: p = p + 2 ‘Siguiente cuadrado

Wend

espitag = ajusta(m) + ":: " + s

End Function

Esta función te devuelve el listado de soluciones. Lo vemos con un ejemplo:

1950=2*3*5^2*13

Si le aplicamos la función nos devuelve

S(1950)=7::216^2+1938^2=480^2+1890^2=546^2+1872^2=750^2+1800^2=990^2+1680^2=1170^2+1560^2=1224^2+1518^2=2*3*5^2*13

Son siete sumas de cuadrados. Según la teoría, la justificación es el cálculo S(1950)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Hemos ignorado el 2 y el 3, y usado los exponentes del cuadrado de 5^2 y 13.

La ventaja de la función es que nos da el número de sumas y el listado de las mismas.

¿Qué números pueden resultar al contar ternas?

Según lo visto, cualquier número natural puede ser el resultado de contar ternas. Esto es así por la forma de calcularlo.

Sea un número cualquiera K. Si lo multiplicamos por 2 y añadimos 1, nos resultará un número impar, que se podrá igualar al producto de paréntesis de la fórmula empleada. Como trabajamos con exponentes, bastará usar bases del tipo 4K+1. Lo vemos con un ejemplo:

¿Qué números producirán trece ternas distintas?

Multiplicamos 13 por 2 y añadimos 1, con lo que obtenemos 27, que se puede descomponer en 3*3*3. Esos factores provienen de exponentes del cuadrado (que serían 2), por lo que basta multiplicar tres números primos del tipo 4K+1, por ejemplo, 5*13*17=1105. Le aplicamos la función y queda:

S(1105) 13:: =47^2+1104^2=105^2+1100^2=169^2+1092^2=264^2+1073^2=272^2+1071^2=425^2+1020^2=468^2+1001^2=520^2+975^2=561^2+952^2=576^2+943^2=663^2+884^2=700^2+855^2=744^2+817^2

Otro ejemplo: ¿Cuándo resultarán ocho ternas?:

8*2+1=17, que es primo, luego la única posibilidad es que se trate de la potencia octava de un primo del tipo 4K+1. Usamos las más pequeña, 5^8=390625, con el resultado de ocho ternas:

S(390625) 8:: =29625^2+389500^2=80620^2+382215^2=109375^2+375000^2=137500^2+365625^2=164833^2+354144^2=210000^2+329375^2=234375^2+312500^2=257400^2+293825^2

Primos del tipo 4K+1

Un caso especial lo constituyen los números que son primos del tipo 4K+1, también llamados primos pitagóricos. Como son muy interesantes, les dedicaré un estudio especial cuando se termine el tema actual.

Catetos de una terna

Esta entrada se ha alargado algo, y continuaré en la siguiente con el tema de los catetos y algún otro.