Regresos 13 - Diferencia de potencias

En este blog hemos tratado frecuentemente las diferencias de cuadrados y, recientemente, las de cubos. Parecía conveniente intentar una generalización a pares de potencias de cualquier exponente.

Para ello nos basaremos en la conocida fórmula

Para nuestro estudio es preferible expresar la diferencia de potencias como (a+h)^k- a^k

Observamos que se puede extraer factor común la diferencia h:

Expresión de un número N como diferencia de potencias

Si igualamos la anterior expresión a N, llegaremos a una conclusión interesante:

Si un número entero positivo N es expresable como diferencia de potencias, (a+h)^k - a^k, la diferencia h entre las bases ha de ser divisor de N

Esto nos da una base segura para las búsquedas, pero es que, además, con esa fórmula, tal como efectuamos para los cubos (ver mi entrada http://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/diferencias-de-cubos-enteros-positivos.html), obtenemos una cota para el valor de a:

Sería ka^k-1h menor que la diferencia de potencias, o lo que es igual, que N. Así que tendríamos:

Con esta cota y el carácter de divisor de h ya podemos intentar determinar si un número N es expresable o no como diferencia de potencias de exponente dado.

Ya se vio en la entrada enlazada que en el caso de los cubos la acotación era

Una idea sencilla es que si un número es diferencia de dos potencias de exponente k, si lo multiplicamos por otro número b^k obtendremos otro número con la misma propiedad. De aquí deducimos que este tipo de números forma una sucesión infinita para cualquier valor de k, ya que el primero siempre existe.

 Función de búsqueda

Con esta base teórica podemos construir una sencilla función de búsqueda:

Function espotencia_igual(n, k)’Parámetros número y exponente
Dim a, h, tope
Dim s$

s = "" ’Contenedor de soluciones
For h = 1 To n / 2 ‘Posibles valores de h
If n / h = n \ h Then ‘Es divisor
tope = Int((n / k / h) ^ (1 / (k - 1))) ‘Tope calculado para h
For a = 1 To tope ‘Si es diferencia de potencias, se publica
If (a + h) ^ k - a ^ k = n Then s = s + "# " + Str$(a) + ", " + Str$(a + h)
Next a
End If
Next h
If s = "" Then s = "NO"
espotencia_igual = s
End Function

Por ejemplo, para k=4 obtenemos todos los números expresables como b⁴-a⁴ (y por tanto, también como m²-n²) y con divisor diferencia de cuadrados. Igualmente, por el Teorema de Fermat, no existirá entre ellos ninguna cuarta potencia:

Están publicados en https://oeis.org/A147857

En esta sucesión y en las que seguirán sólo podrán aparecer números primos si h=1, según las fórmulas de los primeros párrafos de esta entrada. En este caso de k=4 no aparecerán, porque b⁴-a⁴ es múltiplo de b²-a², que no valdrá 1 para b>a. Ocurrirá lo mismo en todos los casos en los que el exponente sea número compuesto.

Según un comentario de OEIS, no figuran cuadrados en esta sucesión. Hemos visto alguna demostración similar y resulta larga y complicada.

Para k=5 obtenemos:

Al ser el exponente primo impar, sí pueden figurar primos en esta sucesión, para h=1. Los primeros son estos:

 

Tal como se comentó ya, el valor de h ha de ser 1, o bien a y b consecutivos.

Están publicados en https://oeis.org/A121616 , y ahí se sugiere el nombre de primos “pentan”, por analogía con los primos “cubanos”, ya estudiados en este blog.

También figuran cuadrados, como 7744=88^2=6^5-2^5.

Así podríamos seguir con otros valores de exponentes.

Versión en PARI

Sabemos que las hojas de cálculo no pueden manejar bien los números grandes. Para ello son mejores otras herramientas, como el lenguaje PARI. Hemos creado una rutina que devuelve las formas, si existen, de expresar un número como diferencia de potencias en varios casos de exponentes. En el ejemplo lo hemos aplicado al número 7744 y exponentes en un rango de 3 a 20, pero todo eso se puede cambiar.

n=7744;for(k=3,20,for(h=1,n/2,if(n%h==0,tope=(n/h/k)^(1/(k-1));for(a=1,tope,if((a+h)^k-a^k==n,print("# n=",n," k=",k," a=",a," b=",a+h))))))

Nos devuelve algo ya conocido:

 

 Nos indica que 7744 se expresa con exponente 5 como diferencia 6⁵-2⁵.

Si no nos importa dejar a nuestro equipo varios minutos calculando, podemos investigar todo un rango de números, con esta otra versión:

for(n=1000,2000,for(k=4,20,for(h=1,n/2,if(n%h==0,tope=(n/h/k)^(1/(k-1));for(a=1,tope,if((a+h)^k-a^k==n,print("# n=",n," k=",k," a=",a," b=",a+h)))))))

Aquí le hemos añadido al código un bucle entre 1000 y 2000, con este resultado:

Destaca el número 1023, y es fácil adivinar la razón. 

 

Números refactorizables

Estudiando el número 2025 se descubre que tiene 15 divisores, y que este número 15 es divisor de 2025. Por eso, cumple la definición de número refactorizable o “tau”, porque si llamamos función TAU al número de divisores de N, en estos números se cumple que N/TAU(N) es un entero. En el caso de 2025 se cumple que 2025/15=135.

Un número se llama refactorizable o tau si es múltiplo del número de sus divisores.

Para descubrir si un número es de este tipo, habrá que calcular TAU y efectuar el cociente N/TAU(N) para analizar si es entero.

El cálculo de TAU es bastante simple:

TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k), donde a₁, a₂, …a_k son los exponentes de los factores primos de N.

Si no se desea descomponer el número en factores primos se puede usar la función que publicamos en https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=tau%28

Con esta condición y un buscador se obtienen los primeros números refactorizables:

Están publicados en https://oeis.org/A033950

De entrada nos damos cuenta de que el único número primo de este tipo es el 2, porque todos los demás son impares, y no pueden ser múltiplos del número de sus divisores, que es 2.

Algo parecido ocurre con las potencias de primos, en las que el cuadrado posee tres divisores, luego el único cuadrado de primo refactorizable es 9=3². Del mismo modo se puede razonar que 8 es el único cubo de primo que cumple la definición. Podemos ampliar la condición a números del tipo p^p-1, como 625.

Un número impar refactorizable no puede tener un número par de divisores. En la fórmula TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k) todos los factores deberán ser impares, y, por tanto, todos los a_i pares, por lo que N deberá ser un cuadrado:

Sólo los números impares que son cuadrados pueden ser refactorizables.

En la lista de refactorizables no hay números libres de cuadrados salvo 1 y 2. La razón es sencilla: si N no contiene cuadrados, todos sus factores primos estarán elevados a la unidad, luego su número de divisores será TAU(N)=2*2*2*2*2…=2ⁿ y esto obliga a que N contenga al cuadrado de 2, salvo 1 y 2

Todos los números refactorizables, salvo 1 y 2, contienen un cuadrado entre sus divisores.

Refactorizables consecutivos

Existen números consecutivos que son ambos refactorizables. Con nuestros buscadores se llega fácilmente a los primeros pares:

En https://oeis.org/A114617 puedes consultar una lista más amplia.

Se ha demostrado que no existen ternas de consecutivos entre los números de este tipo entre los que poseen pocas cifras. Las condiciones con tan exigentes que se ha dejado su no existencia como conjetura, ya que no se han encontrado ternas entre 1 y 10⁵³.

Conjuntos de cuatro o más consecutivos no pueden existir, porque habría entre ellos dos números impares, que deberían ser cuadrados y presentar una diferencia menor que 5, y eso no es posible.

Podemos plantearnos diferencia 2:

Esta sucesión está inédita.

Otras variantes de la cuestión

Podemos investigar los cocientes N/TAU(N) en sus casos particulares.

Entre los primeros números refactorizables tenemos:

Sólo el 1 y el 2 presentan cociente 1.

Sólo el 8 y el 12 son el doble de su número de divisores.

Los números 9, 18 y 24 son el triple de su función TAU.

Otros casos:

Podemos formar una tabla con los siguientes posibles cocientes:

Cociente    Encontrados

4                  36
5                  40, 60
6                  72
7                  56, 84
8                  80, 96
9                  108
10                180
11                88, 132
12                240

 A la vista de estos resultados queda clara una propiedad:

Todos los números del tipo 12p, con p primo impar, son refactorizables, y el cociente N/TAU(N) es exactamente p.

Es fácil demostrarlo. Al ser TAU una función multiplicativa tendremos TAU(12p)=TAU(12)TAU(p)=6*2=12, porque 12 y p son primos entre sí, luego el cociente pedido será p.

(Ver mi publicación Funciones multiplicativas https://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf)

¿De qué tipo es el cociente N/TAU(N)?

Cuadrado

Hemos buscado cocientes cuadrados y descubriendo que son frecuentes:

Están publicados en https://oeis.org/A145450

Triangular

Es similar a la anterior sucesión, pero no está publicada:

Primos

Ya se demostró que todos los enteros de tipo 12p con p primo impar, tienen como cociente p, pero pueden que existan más ejemplos. Los hemos buscado y resulta que los del tipo 8p con p primo e impar también son refactorizables, ya que, al ser 8 y p primos entre sí, TAU(8p)=TAU(8)*TAU(p)=4*2=8, luego el cociente es p.

Además de estos casos existen otros números refactorizables con cociente primo, pero sólo hemos encontrado el 9 y el 18, con cociente 3.