Explorando por OEIS, encontré un tipo de números en https://oeis.org/A332269 y me ha apetecido desarrollar el tema mediante nuestras funciones en hoja de cálculo.
La idea es que en muchos números naturales N, un solo
divisor propio de N es mayor que su raíz cuadrada, siendo todos los demás
menores. Al ser propio, se descarta N, por lo que ese divisor ha de cumplir Sqr(N)<d<N, siendo Sqr la función raíz. Su valor máximo
posible será N/2.
Por ejemplo, el número 27 posee como divisores propios 1,
3 y 9, siendo 9 el único divisor propio de 27 que es mayor que la raíz cuadrada
de 27=5,19. Con este ejemplo ya tenemos un resultado, y es que los cubos de los números primos
presentan esta propiedad.
Su búsqueda con Vbasic de Excel y Calc es bastante
sencilla. Se puede desarrollar con esta función:
Function undivisor(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r
r = Sqr(n) ’Cálculo
de la raíz cuadrada
m = 0 ‘Contador
de divisores
k = Int(n / 2) ‘Máximo divisor propio posible
While k > r ‘Contamos
divisores mayores que la raíz
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k - 1
Wend
‘Si el contador marca m=1 es de ese tipo
If m = 1 Then undivisor = d Else
undivisor = 0
End Function
Devuelve un cero si no presenta la propiedad, y el mayor divisor si se cumple. Los primeros números con ella son:
6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39,
46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95,
106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 125, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146,
155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194
Están publicados en https://oeis.org/A332269
En esta tabla observamos el cumplimiento de la condición:
En la página enlazada figuran algunos tipos de números
con la propiedad pedida:
Semiprimos
libres de cuadrados: Si N=pq,
con p y q primos y p<q, es
lógico que q sea el divisor único
pedido. En el listado figuran muchos, como el 14=2*7, y 7 es mayor que la raíz
cuadrada de 14.
Cubos
y cuartas potencias de primos: En ambos casos se cumple,
y el divisor es p2 en el primer caso y p3 en el segundo.
Así, en 16 el mayor divisor, 8, es el único mayor que la raíz cuadrada de 16,
que es 4.
Simplificación
En la referida página de OEIS se incluye un comentario
que nos permite simplificar la búsqueda, y es que si Sqr(N)<d<N, y d es
único, también lo será N/d, que será
divisor, pero que ahora se cumplirá N/d<Sqr(N),
lo que nos permite buscar el divisor único entre 2 y Sqr(N).
El desarrollo de la función sería similar al presentado:
Function undivisor2(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r
r = Sqr(n)
m = 0
k = 2 ‘Ahora
se comienza en el 2, hasta la raíz cuadrada
While k < r ‘El
resto se desarrolla igual
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k + 1
Wend
If m = 1 Then undivisor2 = d Else
undivisor2 = 0
End Function
Como era de esperar, resultan los mismos números:
Profundización
El número de divisores propios mayores que la raíz
cuadrada coincide con el de los divisores menores, como vimos más arriba, ya
que si D divide a N, también lo divide N/D. Esto nos permite cambiar la
condición impuesta por la de que x*y=N tenga una sola solución si x es distinto
de y y ambos mayores que la unidad. En ese caso, si x es menor que la raíz
cuadrada de N, la otra variable y presentará un valor mayor que ella, con lo
que se cumple la condición.
Si analizamos el valor de TAU(N) (número de divisores de
N) observaremos que el número de pares x, y es igual a TAU(N)/2 si N es libre
de cuadrados, y si (N,1) es un par, sólo deberá existir otro par (D,N/D), por
lo que si TAU(N) vale cuatro, como ocurre en
los semiprimos libres de cuadrados p*q, con divisores (1, p, q, pq) y en
los cubos de primos (1, p, p2, p3), algo que ya se afirmó
más arriba.
Si TAU(N) es mayor que 4, sólo se encuentran como
ejemplos válidos las potencias cuartas de los números primos.
Ejemplos
consecutivos
En la tabla figuran términos consecutivos. En la página
de OEIS enlazada figuran varios tipos de números que forman pares de
consecutivos. Es una curiosidad digna de leerse.
