Divisor propio mayor que la raíz cuadrada

 

Explorando por OEIS, encontré un tipo de números en https://oeis.org/A332269 y me ha apetecido desarrollar el tema mediante nuestras funciones en hoja de cálculo.

La idea es que en muchos números naturales N, un solo divisor propio de N es mayor que su raíz cuadrada, siendo todos los demás menores. Al ser propio, se descarta N, por lo que ese divisor ha de cumplir Sqr(N)<d<N, siendo Sqr la función raíz. Su valor máximo posible será N/2.

Por ejemplo, el número 27 posee como divisores propios 1, 3 y 9, siendo 9 el único divisor propio de 27 que es mayor que la raíz cuadrada de 27=5,19. Con este ejemplo ya tenemos un resultado, y es que los cubos de los números primos presentan esta propiedad.

Su búsqueda con Vbasic de Excel y Calc es bastante sencilla. Se puede desarrollar con esta función:

Function undivisor(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r

r = Sqr(n) ’Cálculo de la raíz cuadrada
m = 0 ‘Contador de divisores
k = Int(n / 2) ‘Máximo divisor propio posible
While k > r ‘Contamos divisores mayores que la raíz
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k - 1
Wend
‘Si el contador marca m=1 es de ese tipo
If m = 1 Then undivisor = d Else undivisor = 0
End Function

Devuelve un cero si no presenta la propiedad, y el mayor divisor si se cumple. Los primeros números con ella son:

6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 125, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194

Están publicados en https://oeis.org/A332269

En esta tabla observamos el cumplimiento de la condición:

 

En la página enlazada figuran algunos tipos de números con la propiedad pedida:

Semiprimos libres de cuadrados: Si N=pq, con p y q primos y p<q, es lógico que q sea el divisor único pedido. En el listado figuran muchos, como el 14=2*7, y 7 es mayor que la raíz cuadrada de 14.

Cubos y cuartas potencias de primos: En ambos casos se cumple, y el divisor es p² en el primer caso y p³ en el segundo. Así, en 16 el mayor divisor, 8, es el único mayor que la raíz cuadrada de 16, que es 4.

Simplificación

En la referida página de OEIS se incluye un comentario que nos permite simplificar la búsqueda, y es que si Sqr(N)<d<N, y d es único, también lo será N/d, que será divisor, pero que ahora se cumplirá N/d<Sqr(N), lo que nos permite buscar el divisor único entre 2 y Sqr(N).

El desarrollo de la función sería similar al presentado:

Function undivisor2(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r

r = Sqr(n)
m = 0
k = 2 ‘Ahora se comienza en el 2, hasta la raíz cuadrada
While k < r ‘El resto se desarrolla igual
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k + 1
Wend
If m = 1 Then undivisor2 = d Else undivisor2 = 0
End Function

Como era de esperar, resultan los mismos números:

Profundización

El número de divisores propios mayores que la raíz cuadrada coincide con el de los divisores menores, como vimos más arriba, ya que si D divide a N, también lo divide N/D. Esto nos permite cambiar la condición impuesta por la de que x*y=N tenga una sola solución si x es distinto de y y ambos mayores que la unidad. En ese caso, si x es menor que la raíz cuadrada de N, la otra variable y presentará un valor mayor que ella, con lo que se cumple la condición.

Si analizamos el valor de TAU(N) (número de divisores de N) observaremos que el número de pares x, y es igual a TAU(N)/2 si N es libre de cuadrados, y si (N,1) es un par, sólo deberá existir otro par (D,N/D), por lo que si TAU(N) vale cuatro, como ocurre en  los semiprimos libres de cuadrados p*q, con divisores (1, p, q, pq) y en los cubos de primos (1, p, p², p³), algo que ya se afirmó más arriba.

Si TAU(N) es mayor que 4, sólo se encuentran como ejemplos válidos las potencias cuartas de los números primos.

Ejemplos consecutivos

En la tabla figuran términos consecutivos. En la página de OEIS enlazada figuran varios tipos de números que forman pares de consecutivos. Es una curiosidad digna de leerse.