Sigmas de divisores semiprimos

Al igual que con los divisores habituales y los unitarios, los divisores semiprimos pueden dar lugar a funciones SIGMA y TAU.

En la entrada anterior usamos la función div_semi para encontrar y contar los divisores semiprimos de un número. Esta sería la función TAU en este caso. Bastará cambiar ligeramente estas líneas de su código para sumar en lugar de contar o usar potencias:

If essemiprimo(k) And n / k = n \ k Then ‘Es divisor semiprimo
nn = n: e = 0 ‘Posibles exponentes
If repe Then ‘Caso de repetición
While nn / k = nn \ k: e = e + 1: nn = nn / k: Wend
End If
If repe Then m = m + e Else m = m + 1

La última línea cuenta divisores, pero si la sustituyéramos por m=m+e*k^t o m=m+k^t nos serviría para el cálculo de la familia de las SIGMAS, que suman divisores, o sus cuadrados, o también cualquier potencia. Incluso si el exponente es 0, la función seguiría contando en lugar de sumar, es decir, que sería TAU. Estos pequeños cambios en la función div_semi los daremos por supuestos en cada caso.

Funciones SIGMA

Tradicionalmente, estas funciones han sumado los divisores de un número o bien alguna potencia de ellos. En el caso de los semiprimos les añadiremos _S para distinguirlas. Así SIGMA3_S sumará los cubos de los divisores semiprimos. Por ahora no consideraremos las repeticiones.

La más sencilla será SIGMA_S, que sumará los divisores semiprimos sin contar repeticiones. En la función div_semi sustituiremos m=m+1 por m=m+k. De esta forma podemos calcular la suma sin repetición si usamos el parámetro repe=0. Por ejemplo, para 330 pediríamos DIV-SEMI(330;0). En la imagen podemos comparar la lista de divisores semiprimos con su suma:

Así que, en este caso, SIGMA_S(330)=141

El resultado, para los primeros números es:

Podemos comparar las dos últimas columnas para verificar las sumas.

Las sumas de la segunda columna están publicadas en  https://oeis.org/A076290

Tambien, si cambiamos ligeramente la versión en PARI, obtendremos los mismos resultados. Esta sería la nueva versión:

sigma_s(n)= sumdiv(n, d, (bigomega(d)==2)*d)
print(sigma_s(330))

Su resultado:

Y para los 20 primeros:

Observamos que coinciden con los publicados.

Hemos intentado buscar números s_perfectos, que coincidan con la suma de sus divisores semiprimos, pero no hemos encontrado ninguno para números inferiores a 2*10^6. Entre los 20 primeros son todos s_deficientes, y, según nuestras búsquedas, 30 es el único s_abundante, pues sus divisores primos suman 31: 6+10+15=31

Algunos tipos de sigma_s

Los resultados de la suma de divisores pueden presentar alguna curiosidad. Recorremos posibilidades:

Sigma_s semiprima

Si un número N es semiprimo, el valor de SIGMA_S(N) coincide con N, luego será otro semiprimo. Si no lo es, sí puede serlo SIGMA_S. Estos son los primeros ejemplos:

Observamos algo lógico, y es que las potencias de primos poseen una sigma_s semiprima, pues coincidiría con el cuadrado de ese primo. De paso hemos descubierto que existen infinitas sigmas cuadradas.

Sigma_s cuadrada

Dejamos aparte las sigmas de las potencias de primos, que son todas cuadradas, e investigamos si existen en otros casos. El resultado es

Aparecen tres números poderosos, como 225, 675 y 1125. Estos poseen todos los factores primos con exponentes superiores a la unidad, lo que explica que se esperen sigmas cuadradas.

Sigma_s prima

Por último, destacamos que aparecen bastantes sigmas primas en los primeros números, y que vuelven a aparecer números poderosos.

 

Las otras sigmas

Sumas de cuadrados

Podemos sumar los divisores semiprimos previamente elevados al cuadrado, con lo que lograríamos SIGMA2_S. Basta un pequeño ajuste en nuestras funciones, usando la operación m=m+k^2

Los primeros resultados serían

Por ejemplo, SIGMA2_S(2160)=458, porque esa es la suma de los cuadrados de sus divisores semiprimos:

4^2+6^2+9^2+10^2+15^2=458

El valor de SIGMA2_S(N) es mayor o igual al de SIGMA_S(N), lo que nos abre la posibilidad de que aquí sí existan números s2_perfectos. Y es así, porque en la tabla vemos que SIGMA2_S(16)=16. ¿Existirán más? Los buscamos, y los primeros son: 16, 81, 625 y 2401, es decir, potencias cuartas de primos, en los que su divisor semiprimo es un cuadrado de primo, y al elevarlo al cuadrado, resulta N, que así se convierte en un s2_perfecto.

Hemos acudido a la velocidad de PARI, y al menos, para números inferiores a 10^6, todos los s2_perfectos son potencias cuartas de primos:

 

Otras sigmas de potencias

Las sumas con cubos son:

 

 Igual se encontrarían para otras potencias. Lo dejamos aquí.