Primos cubanos

Se llaman así (Cunningham (1923)) aquellos números primos que son iguales a una diferencia de cubos consecutivos. Lo de “cubano” viene de cubo, no de Cuba. No es un nombre afortunado, pero así quedó. Al ser los cubos consecutivos, se da por supuesto que X es entero.

No es que sean muy interesantes, pero nos permitirán analizar su búsqueda y estudiar variantes de la definición.

Búsqueda directa

Si creamos una columna de números consecutivos, los elevamos al cubo y restamos, si poseemos una función ESPRIMO o ISPRIME, será fácil identificar los primos cubanos. Esta función la puedes consultar en varias entradas de nuestro blog, como, por ejemplo en https://hojaynumeros.blogspot.com/2016/05/palprimos-primos-palindromicos.html

El esquema quedaría así:

En la última columna hemos escrito fórmulas del tipo =SI(ESPRIMO(I4);"Cubano";"")

Si es primo aparecerá la frase “Cubano” y si no, quedará en blanco.

Observamos que los primeros primos cubanos son 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657.

Desarrollo algebraico

Al desarrollar la definición, nos damos cuenta de que el tema es de tipo elemental:

N=(x+1)³-x³=3x²+3x+1

Esto nos lleva a una ecuación de segundo grado:

3x²+3x-(N-1)=0

Para que tenga solución entera, el discriminante, que es fácil ver que equivale a 12N-3, ha de ser cuadrado. De esta forma tendremos el valor de x:

Con este breve estudio tenemos ya forma de encontrar y analizar los primos cubanos. Comenzamos con nuestro Buscador de Naturales (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador)

Es interesante explicar las condiciones: En primer lugar exigimos que el número sea primo, después, que sea igual a una expresión cuadrática de coeficientes 3, 3 y 1 (3X²+3X+1), y, por último, encontramos el valor de X y lo situamos en la segunda columna con la orden EVALUAR.

En PARI es muy fácil también encontrar estos números. Nos basaremos en la condición de que 12N-3 sea cuadrada, y quedará:

is(n)=isprime(n)&&issquare(12*n-3)
For(i=1,1000,if(is(i) ,print1(i,”, “)))

Lo hemos comprobado en la web oficial de PARI, https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

Están publicados en https://oeis.org/A002407

A002407    Cuban primes: primes which are the difference of two consecutive cubes.

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, …

Carácter poligonal

La expresión N=3X²+3X+1 se puede escribir como 6(X(X+1)/2)+1=6T_x+1, es decir, como seis veces un número triangular ´más una unidad, pero esa es la estructura de los números hexagonales centrados. Basta estudiar esta imagen de la Wikipedia para entenderlo

(https://en.wikipedia.org/wiki/Centered_hexagonal_number#:~:text=The%20sequence%20of%20hexagonal%20numbers,%2C%20721%2C%20817%2C%20919. )

Si consultas el listado de estos números hexagonales centrados, observarás que nuestros primos cubanos están incluidos.

A003215              Hex (or centered hexagonal) numbers: 3*n*(n+1)+1 (crystal ball sequence for hexagonal lattice).

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107,…

La expresión N=3X(X+1)+1 también sugiere que equivalen a la unidad más tres veces un número oblongo, del tipo N(N+1). Así, 61 se puede representar como tres rectángulos apilados de dimensiones 4 por 5, más una unidad.

Por otra parte, el primer sumando,

Búsqueda directa del valor de X+1

Podemos dar protagonismo al valor de X+1, base del cubo mayor. En este caso bastaría exigir que fuera primo (X+1)³-X³. Es simple buscar esos valores. Cambiarían de columna en Excel respecto a la búsqueda anterior:

 Hemos llamado N a X+1. Lo hemos decidido así porque los valores de X+1 están publicados en https://oeis.org/A002504:

A002504              Numbers x such that 1 + 3*x*(x-1) is a ("cuban") prime (cf. A002407).

2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 49, 50, 53, 56, 59, 63, 64,…

Se podría pensar en generalizar esta cuestión planteando que la diferencia entre las bases sea un número k mayor que 1, pero en ese caso la diferencia entre cubos sería múltiplo de k y no podría ser primo. Así que la única diferencia entre cubos que puede ser prima es la que existe entre consecutivos.