Comenzamos hoy una serie sobre números populares que se distinguen por alguna curiosidad al relacionarlos con sus cifras. Nos limitaremos a la base de numeración 10, porque toda teoría de este tipo se podrá extender a otras bases, salvo ejemplos específicos.
Niven o Harshad
Un número de Harshad o número de Niven es
un número
entero divisible entre la suma de sus dígitos
en una base dada. Aquí nos limitaremos a base 10.
Es claro que los números de una cifra son todos de Niven. Así
que es más interesante estudiar los de
varias cifras. También se comprende que los números de Niven de más de una
cifra no pueden ser primos.
Como curiosidad, destacamos que el número de Hardy-Ramanujan,
1729, es de este tipo, porque es múltiplo de 1+7+2+9=19, ya que 1729=7*13*19
Con nuestro Buscador de Naturales es fácil encontrar los
primeros de varios dígitos:
(ver http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador)
La condición es fácil de traducir, pues pide que sea entero el cociente entre el número y la suma de las cifras. Estos números están publicados en https://oeis.org/A005349.
Para resolver esta búsqueda en hoja de cálculo contamos con la
función sumacifras (ver, por ejemplo,
https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html)
Aquí usaremos una versión con un parámetro adicional, que es el
exponente al que se elevará cada cifra antes de sumarla. Si en esta entrada no
es algo necesario, puede sernos útil en las siguientes.
Public
Function sumacifras(n,k)
Dim h, i, s, m
h = n ‘De la variable h se irán
extrayendo las cifrass = 0 ‘Esta variable recogerá la
suma de cifras
While h > 9 ‘Bucle para
extraer las cifras una a una
i = Int(h / 10)
m = h - i * 10
h = i
s = s + m^k ‘La nueva
cifra o su potencia se suma a la variable
Wend
s = s + h^k ‘La cifra
residual se suma a la variable
sumacifras = s
End Function
Con ella es fácil conseguir una tabla de números de Niven y los cocientes de dividirlos entre la suma de sus cifras:
En Pari es difícil superar la sencillez de esta función de Charles
R Greathouse:
(PARI)
is(n)=n%sumdigits(n)==0 \\ Charles R Greathouse IV, Oct 16 2012
En ella el símbolo % significa residuo respecto a un módulo.
Números de Niven consecutivos
Con nuestra función sumacifras
es sencillo encontrar los primeros pares de números de Niven consecutivos:
Son fáciles de comprobar. Por ejemplo:
480/(4+8+0)=480/12=40
481/(4+8+1)=481/13=37
Los primeros de cada par están publicados en
Los números N de Niven tales que N+1 y N+2 también lo son, están presentados en esta tabla:
Los valores de N están publicados en https://oeis.org/A154701
Puedes leer en esa página que Cooper y Kennedy probaron que
existen infinitos conjuntos de hasta 20 consecutivos de este tipo en base 10.
Sin embargo H.G. Grundman demostró
en 1994 que no hay 21 números enteros consecutivos.
Tipos especiales de números de Niven
Números con cociente el producto de sus cifras
La función explicada más arriba, sumacifras, se puede convertir, con un simple cambio de operación,
en producifras. Así que estos números
cumplen que N=PRODUCIFRAS(N)*SUMACIFRAS(N).
Con la hoja de cálculo es sencillo buscarlos de esta forma.
Estos son los únicos, además del 1, que se pueden encontrar menores que 10^7:
135=1*3*5*(1+3+5)=15*9
144=1*4*4*(1+4+4)=16*9
Parece ser que son los únicos de este tipo.
Capicúas de Niven
Ya que estamos tratando con cifras, podemos buscar capicúas
entre los números de Niven. Como en este blog disponemos de la función escapicua, bastará añadirla a las
condiciones que se impongan. Estos son los primeros de más de una cifra que
resultan:
(Ver https://oeis.org/A082232)
Observamos muchos elementos “repidígitos” (con todas las cifras
iguales), cuyo cociente coincide con el presentado en 111 (número “repituno”),
que es 37. No todos los repitunos son de Niven. Los primeros son 1, 111,
111111111 y 11111111111
Otros ejemplos
Los primeros números de Niven cuadrados de varias cifras son:
36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, 900, 1296, 1521, 1764,…
Se ha usado nuestra función escuad.
(Ver https://oeis.org/A118547)
Los triangulares de Niven de varias cifras también son
abundantes:
10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, 351, 378, 465,
630, 666, 780, 820, 990, 1035, 1128, 1275, 1431, 1540, 1596, 1770,…Están
comprobados en https://oeis.org/A076713
Y oblongos:
12, 20, 30, 42, 72, 90, 110, 132, 156, 210, 240, 306, 342, 420,
506, 552, 600, 702, 756, 870, 1056, 1122, 1260, 1332, 1560, 1980,…
Los de la sucesión de Fibonacci son más escasos. Estos son los
primeros: 21, 144, 2584. En https://oeis.org/A117774 se pueden observar términos de muchas cifras.
No hay que seguir, porque este tema es de cifras, y muchos tipos
de números no dependen de ellas.
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