En la anterior entrada estudiamos los números que son suma y
también producto de un cubo y un capicúa. En esta buscaremos casos similares
con cuadrados y triangulares.
Caso cubo y cuadrado
Tal como anunciamos en la entrada anterior, si sustituimos
ESCAPICUA en la función CUBOYOTRO por ESCUAD, que determina si un número es
cuadrado perfecto, podríamos repetir el estudio para cuando los factores y
sumandos fueran uno cubo y otro cuadrado. El listado de esta otra función puede
ser el siguiente:
Public Function escuad(n) As Boolean
If n < 0 Then
escuad = False
Else
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True
Else escuad = False
End If
End function
Efectuando la sustitución, resultan los números de la tabla,
como los menores que cumplen las condiciones exigidas:
Ejemplo: 1323=3^3+36^2=3^3*7^2
Con PARI hay que cambiar un poco el algoritmo, por las
peculiaridades de la función issquare:
condi1(n)= my(c=0); a=truncate(n^(1/3));
for(x=2, a, for(b=2,sqrt(n),if(n==x^3*b^2,c=1)));c
condi2(n)= my(c=0); a=truncate(n^(1/3));
for(x=1, a, b=n-x^3;if(issquare(b)&&b>0,c=x));c
for(y=1,20000,
if(condi1(y)&&condi2(y),print1(y,", ")))
Así podemos ampliar el listado anterior:
72, 108, 128, 392, 512, 576, 968, 1323, 1372, 1568, 1944,
2000, 2304, 2312, 2700, 2888, 3200, 3267, 3456, 3528, 4000, 4608, 5400, 6272,
6400, 6561, 6912, 8192, 8748, 9000, 9800, 10125, 10952, 12168, 12348, 12544,
14283, 14400, 16200, 16928, 17496, 18000, 18252, 18496, 19773,…
La simultaneidad de un cubo y de un cuadrado en un producto
hace sospechar que algunos términos sean potencias perfectas en esta sucesión.
En efecto, los primeros casos son:
128=2^7, 512=2^9, 6561=3^8, 8192=2^13, …
En ellos el exponente se ha formado combinando el 3 del cubo
con el 2 del cuadrado.
Caso cubo y
triangular
En la función CUBOYOTRO podemos sustituir la función ESCUAD
por la ESTRIANGULAR. Un número es triangular cuando al multiplicarlo por 8 y sumar
1 se convierte en cuadrado. Lo puedes ver con un sencillo desarrollo:
8*T(n)+1 = 8*n*(n+1)/2+1 = 4n2+4n+1 =(2n+1)2
Con esta propiedad se construye un criterio para saber si un
número es triangular:
Function estriangular(n) As Boolean
Dim a
If escuad(8 * n + 1) Then estriangular =
True Else estriangular = False
End Function
Sustituimos en CUBOYOTRO la función ESCAPICUA (o
ESCUAD) por esta otra y obtendremos los números que son producto de cubo y
triangular y también una suma del mismo tipo. Los primeros son:
Como en anteriores ocasiones, C1 y C2 son los dos cubos y
CAP1, CAP2, en este caso, los triangulares (se ha deslizado la abreviatura de
capicúa).
Por ejemplo, 1029=9^3+300=9^3+24*25/2, suma de cubo y
triangular, y además, 1029=7^3*3=7^3*2*3/2. Producto de cubo y triangular.
En estos ejemplos está incluido el 0 como triangular. En el
siguiente listado, obtenido con PARI, no figuran:
48, 405, 567, 648, 750, 960, 1029, 1215, 1344, 1680, 1848,
2024, 2106, 2160, 2835, 2880, 3240, 3248, 3430, 3480, 3672, 4760, 5145, 5328,
5670, 7203, 8100, 8232, 10125, 12160, 12320, 12555, 13392, 15000, 15147, 15309,
15435, 15624, 16128, 16848, 17982, 18865, 19656,…
Con vistas a estudiar este lenguaje, se inserta el código
usado:
condi1(n)= my(c=0); a=truncate(n^(1/3));
for(x=2, a, for(b=2,sqrt(2*n),if(n==x^3*b*(b+1)/2,c=1)));c
condi2(n)= my(c=0); a=truncate(n^(1/3));
for(x=1, a, b=n-x^3;if(issquare(8*b+1)&&b>0,c=x));c
for(y=1,20000,
if(condi1(y)&&condi2(y),print1(y,", ")))
Cubos con primos
Para esta modalidad necesitamos la función ESPRIMO, muy usada en este blog. La puedes
consultar, por ejemplo, en la dirección
Al igual que se procedió en casos anteriores, sustituimos
ESCAPICUA por ESPRIMO en la función CUBOYOTRO, con el resultado:
Si observamos las dos últimas filas, descubriremos muchos
números primos como base del segundo cubo. En este caso, el número tendrá una
descomposición en factores primos del tipo N=p^3*q, con lo que poseerá ocho
divisores si p es distinto de q, porque TAU(N)=(3+1)(1+1)
Por ejemplo, 189=2^3+181=3^3*7, y sus ocho divisores son 189, 63, 27, 21, 9, 7, 3 y 1.
Si p=q, N=p^4, como es el caso de 81, y TAU(81)=1+4=5,
siendo sus divisores 81, 27, 9, 3 y 1.
Terminamos aquí los casos. Podríamos ahora repetir el
trabajo con cuartas o quintas potencias, pero se intuye que no tendrían
demasiado interés. Como propuesta, se incluyen los primeros de algunos casos:
Potencias cuartas con
primos
Número Descomposición
32
C1 1 PR1
31 C2 2 PR2 2
48
C1 1 PR1
47 C2 2 PR2 3
80
C1 1 PR1
79 C2 2 PR2 5
112
C1 3 PR1
31 C2 2 PR2 7
208
C1 3 PR1
127 C2 2 PR2 13
243
C1 2 PR1
227 C2 3 PR2 3
Por ejemplo, 112=3^4+31=2^4*7
Potencias cuartas con
cuadrados
Número Descomposición
400
C1 4 PR1
144 C2 2 PR2 25
2025
C1 6 PR1
729 C2 3 PR2 25
3600
C1 6 PR1
2304 C2 2 PR2 225
6400
C1 8 PR1
2304 C2 4 PR2 25
15625
C1 10 PR1 5625 C2
5 PR2 25
Así, 3600=6^4+48^2=2^4*15^2
Es fácil razonar que todos los números de este tipo son
cuadrados.
Potencias cuartas con
triangulares
16
C1 1 PR1
15 C2 2 PR2 1
96
C1 3 PR1
15 C2 2 PR2 6
2401
C1 4 PR1
2145 C2 7 PR2 1
3040
C1 5 PR1
2415 C2 2 PR2 190
No tiene interés seguir con más ejemplos. Aquí terminamos.
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