Números de Polignac

Estos números se definen a partir de la conjetura de Polignac, que pronto se descubrió que era falsa. Afirma que todo número impar es suma de un primo y de una potencia de 2. Números tan pequeños como 127 no la cumplen, por lo que duró poco como conjetura.

Llamaremos número de Polignac a aquel número impar que no cumpla la conjetura explicada, que no pueda expresarse como p+2^x. Se supone implícitamente que x puede valer 0, porque en ningún listado se toma el 3 como número de Polignac, ya que 3=2+2⁰

Son números de Polignac el 1 y el ya citado 127.

En este blog insertamos cuanto antes elementos de búsqueda, por lo que procede ahora el diseñar una función que nos indique si un número es de Polignac o no. 

No resulta difícil, porque las potencias de 2 crecen con rapidez y su cota es la llamada valuación del número N respecto a 2, que es el máximo exponente de una potencia de 2 que sea igual o menor que el número. Es fácil ver que se obtiene como INT(log(N)/LOG(2)). Con esa cota, vamos construyendo potencias de 2, y si al restar del número N resulta un número primo, será señal de que no es un número de Polignac.

El listado de la función puede ser el siguiente:

Function espolignac(n) as boolean

dim x

dim vale as boolean

vale=false:x=1 ‘El valor 1 es el inicio de las potencias de 2

if n/2<>n\2 then ‘Examina si el número es impar

while x<=n and not vale ‘Se recorren las potencias de 2

if esprimo(n-x) then vale=true ‘Criterio de Polignac

x=x*2 ‘Siguiente potencia de 2

wend

espolignac=not vale

else

espolignac=false ‘Si es par, no es de Polignac

end if

end function

Puedes conseguir nuestra función “esprimo” si buscas en Google “función esprimo hoja”

Con esta función es fácil encontrar números de Polignac. En la imagen tienes los primeros, obtenidos con hoja de cálculo:

Están publicados en http://oeis.org/A006285

A006285                            Odd numbers not of form p + 2^x (de Polignac numbers).

(Formerly M5390)                          

1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, 1529, 1541, 1549, 1589, 1597, 1619, 1649, 1657, 1719, 1759, 1777, 1783, 1807, 1829, 1859, 1867, 1927, 1969, 1973 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)

Esta lista se puede reproducir con el lenguaje PARI. El código propuesto en la página citada es algo difícil de entender, por lo que se puede acudir  a este otro:

espolignac(n)={x=1;if(n/2 <> n\2,v=0;while(x<=n&&v==0, r=n-x; if(isprime(r), v=1); x=2*x);e=1-v,e=0);e}

for(n=1,1000,if(espolignac(n),print(n)))

Entre ellos existen primos y compuestos. También figuran en el listado algunos números impares consecutivos, como 905 y 907.

Erdös probó que existen infinitos números de este tipo, como los que tienen la forma 1260327937 + 2863311360k. Puedes leer su fórmula en http://www.bitman.name/math/article/388

Disponiendo de la función espolignac no es difícil encontrar los pares de números de Polignac consecutivos en este listado. Los primeros, menores de 10000, son estos:

Entre los números de Polignac, como ya se ha indicado, existen muchos primos. Los primeros son los siguientes:

127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 907, 977, 997, 1019, 1087, 1259, 1549, 1597, 1619, 1657, 1759, 1777, 1783, 1867, 1973, 2203, 2213, 2293, 2377, 2503,...

Están publicados en http://oeis.org/A065381

Aportación de este blog

Semiprimos

También hay semiprimos entre los números de Polignac. Los primeros son:

905, 959, 1199, 1207, 1211, 1243, 1271, 1477, 1529, 1541, 1589, 1649, 1807, 1829, 1927, 1969, 1985…

Basta añadir a la condición espolignac la de ser semiprimo.

Con PARI podemos ampliar la lista, ya que los semiprimos se identifican porque su función bigomega es igual a 2.

espolignac(n)={x=1;if(n/2 <> n\2,v=0;while(x<=n&&v==0, r=n-x; if(isprime(r), v=1); x=2*x);e=1-v,e=0);e}

for(n=1,10000,if(espolignac(n)&&bigomega(n)==2,write1("final.txt",n,", ")))

Así quedaría el listado hasta 10000:

905, 959, 1199, 1207, 1211, 1243, 1271, 1477, 1529, 1541, 1589, 1649, 1807, 1829, 1927, 1969, 1985, 2171, 2231, 2263, 2279, 2429, 2669, 2983, 2993, 3029, 3149, 3215, 3239, 3341, 3353, 3431, 3505, 3665, 3817, 3845, 3985, 4063, 4151, 4195, 4573, 4589, 4633, 4717, 4781, 4811, 4841, 4843, 4855, 5143, 5609, 5617, 5729, 5731, 5755, 5761, 5771, 5917, 5951, 6001, 6065, 6119, 6161, 6193, 6283, 6403, 6433, 6463, 6509, 6535, 6539, 6731, 6757, 6821, 6941, 7169, 7199, 7289, 7319, 7343, 7379, 7387, 7405, 7431, 7747, 7783, 7799, 7807, 7811, 7813, 7913, 7961, 8023, 8031, 8141, 8159, 8257, 8399, 8411, 8587, 8621, 8873, 8915, 8921, 8981, 9101, 9115, 9307, 9517, 9557, 9569, 9641, 9809, 9959,

Como curiosidad, ninguno de los primeros números del listado es múltiplo de 3. Hay que esperar a llegar a 7431 y 8031 para que aparezca.

De igual forma se pueden buscar otros tipos.

Cuadrados:

Triangulares

Entre la sucesión de Fibonacci solo hemos encontrado dos (con cota 100000), el 1 y el 1597.

Como no se advierte ninguna propiedad especial, lo dejamos por ahora.