Equivalencia entre sumas de cubos

Sabemos desde Fermat que un cubo no se puede descomponer en suma de otros dos cubos, pero sí es posible que una suma de cubos sea equivalente a otra distinta. El día 23/11/18, de forma indirecta, publiqué en Twitter (@connumeros) esta igualdad:

19^3+2^3=16^3+14^3+3^3

Como veremos más adelante, estas equivalencias son más frecuentes de lo que se podría esperar en una primera aproximación. Comenzaremos, pues, con este tipo, en el que una suma de dos cubos es equivalente a otra de tres.

Para ello diseñaremos una función, que más tarde modificaremos, que admita un número n y busque sumas equivalentes del tipo dado, en las que n sea la mayor base de cubo en la expresión. La salida de la función será en modo texto, para poder leer bien todas las soluciones.

Usaremos este algoritmo:

Public Function doblecubo$(n)

Dim p, q, r, k, a, b, u, v

Dim c$

If n < 2 Then doblecubo = "NO": Exit Function ‘El número debe ser mayor que 2

c$ = "": k = 0 ‘c$ recoge las soluciones y k las cuenta

For p = 1 To n

a = n ^ 3 + p ^ 3 ‘Se forma la suma de dos añadiendo otro sumando

b = a ^ (1 / 3) ‘Tope de búsqueda

For q = 1 To b ‘Doble bucle de búsqueda

For r = 1 To q

u = a - q ^ 3 - r ^ 3

If u > 0 Then v = Round(u ^ (1 / 3)) Else v = 0

If v > 0 And a = q ^ 3 + r ^ 3 + v ^ 3 And v <= r And v <= q Then k = k + 1: c$ = c$ + Str$(n) + Str$(p) + "=" + Str$(q) + Str$(r) + Str$(v) + "  "

‘Si se acepta el tercer cubo, se vuelca en c$ y se incrementa el contador

Next r

Next q

Next p

If k = 0 Then doblecubo = "NO" Else doblecubo = c$

End Function

Con esta función formamos una tabla con los primeros números que admiten esta descomposición. La segunda columna representa los cinco cubos que intervienen.

Parece ser que sólo los números  1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 y 13 no participan en equivalencias de este tipo:

7             7 1 = 6 4 4 

8             8 7 = 9 5 1 

9             9 7 = 10 4 2 

11          11 7 = 9 9 6 

14          14 2 = 12 8 8   14 10= 13 11 6   14 13= 17 3 1 

15          15 3 = 12 11 7   15 5= 14 9 3 

16          16 7 = 15 10 4   16 14= 18 10 2 

17          17 7 = 13 12 11   17 11= 15 14 5 

18          18 14 = 20 8 4   18 17= 20 14 1 

19          19 2 = 16 14 3   19 5= 17 12 7 

20          20 12 = 19 14 5 

                                           

Por ejemplo, con base 16 obtenemos dos equivalencias:

16^3+7^3=15^3+10^3+4^3; 16^3+14^3=18^3+10^3+2^3

(Puedes escribir estas equivalencias en una celda de Excel (con signo + o = delante) y te devolverá VERDADERO)

Si sumamos los cubos del primer par, encontramos los valores comunes de las dos sumas, que están publicados en http://oeis.org/A085336

344, 855, 1072, 1674, 2752, 3402, 3500, 3744, 4439, 4941, 5256, 6244, 6840, 6867, 6984, 8576, 9288, 9604, 9728, 10261, 10656, 10745, 10773, 10989, 13357, 13392, 14167, 14364, 15093,…

Estudiando todos los números siguientes no parece que haya más excepciones. Incluso el número de soluciones aumenta con buen ritmo. Si modificamos la función para que devuelva el número de soluciones, observamos una tendencia al crecimiento con muchas oscilaciones. Su coeficiente R² es muy bajo, debido a las oscilaciones y  el crecimiento tiene una pendiente media de 0,277.

Problema de Ramanujan

En la anécdota famosa del taxi

 (ver https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Hardy-Ramanujan) 

aparece el número 1729 como el menor que se expresa de dos formas distintas como suma de dos cubos: 1729=1^3+12^3=10^3+9^3

Cambiaremos nuestra función sumacubos para que cubra este caso. No es difícil. Basta con suprimir un bucle FOR-NEXT y añadir alguna desigualdad:

Public Function doblecubo$(n)

Dim p, q, k, a, b, u, v

Dim c$

If n < 2 Then doblecubo = "NO": Exit Function

c$ = "": k = 0

For p = 1 To n

a = n ^ 3 + p ^ 3

b = a ^ (1 / 3)

For q = 1 To b

u = a - q ^ 3

If u > 0 Then v = Round(u ^ (1 / 3)) Else v = 0

If v > 0 And a = q ^ 3 + v ^ 3 And v <> p And v <> n And v <= q Then k = k + 1: c$ = c$ + Str$(n) + Str$(p) + "=" + Str$(q) + Str$(v) + "  "

Next q

Next p

If k = 0 Then doblecubo = "NO" Else doblecubo = c$

End Function

El siguiente listado está basado en la base del primer cubo, por lo que algunos resultados están duplicados:

10          10 9 = 12 1 

12          12 1 = 10 9 

15          15 9 = 16 2 

16          16 2 = 15 9 

20          20 18 = 24 2 

24          24 2 = 20 18   24 19= 27 10 

27          27 10 = 24 19 

30          30 18 = 32 4   30 27= 36 3 

Vemos que la primera equivalencia, 10,9 con 12, 1 es la de Ramanujan. Después le siguen

4104=15^3+9^3=16^3+2^3, 13832=20^3+18^3=24^3+2^3,…

La lista con los primeros valores la tienes en http://oeis.org/A001235

1729, 4104, 13832, 20683, 32832, 39312, 40033, 46683, 64232, 65728, 110656, 110808, 134379, 149389, 165464, 171288, 195841,…

¿Puede un cubo ser equivalente a una suma de tres?

La respuesta es afirmativa. Basta adaptar la función doblecubo(n) no añadiendo un sumado nuevo en las primeras líneas. Por ejemplo:

6^3=5^3+4^3+3^3 

9^3=8^3+6^3+1^3, 12^3=10^3+8^3+6^3, 18^3=15^3+12^3+9^3,… 

Tienes publicadas las bases del primer miembro de la igualdad en http://oeis.org/A023042

A023042                            Numbers whose cube is the sum of three distinct nonnegative cubes.

6, 9, 12, 18, 19, 20, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 36, 38, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 53, 54, 56, 57, 58, 60, 63, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 87, 88, 89, 90, 92, 93, 95, 96, 97, 99, 100, 102, 103, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 113

Aunque en esa página figuran dos listados en PARI, por su semejanza con la función doblecubo, se inserta el nuestro original y su resultado:

for(n=2,100,k=0;for(p=1,n,a=n^3;for(q=1,n,for(r=1,q,u=a-q^3-r^3;if(u>>0,v=round(u^(1/3)),v=0);if(v>>0&&a==q^3+r^3+v^3,k+=1))));if(k>>0,print1(n,", ")))

Un cubo suma de cuatro

Con nuestra herramienta Cartesius 

(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

podemos usar este planteamiento  (en el listado se busca solución para el cubo de 7):

xtotal=4

xt=1..7

xt=suc(n^3)

suma=343

creciente

Se fija un total de cuatro cubos del 1 al 7 para que sumen el cubo de 7.

Así obtenemos la solución

7^3=6^3+5^3+1^3+1^3

Cambiando datos:

12^3=11^3+7^3+3^3+3^3

13^3=12^3+7^3+5^3+1^3

13^3=10^3+9^3+7^3+5^3

…

Tienes publicadas las bases 7, 12, 13,… en http://oeis.org/A274334

A274334                            Numbers n such that n^3 is the sum of 4 positive cubes.                 

7, 12, 13, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68,…

Soluciones con más sumandos

Podemos destacar

8^3=6^3+6^3+4^3+2^3+2^3

9^3=7^3+7^3+3^3+2^3+2^3

9^3=8^3+5^3+4^3+3^3+1^3

10^3=9^3+6^3+3^3+3^3+1^3

10^3=7^3+7^3+5^3+5^3+4^3

7^3=6^3+4^3+3^3+3^3+2^3+1^3

Y muchas más.

El estudio que hemos desarrollado explica, como ya sospechábamos, el hecho de que en nuestros cálculos diarios de Twitter aparezcan tantas combinaciones de cubos.