jueves, 7 de abril de 2016

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo: Opperman

Conjetura de Oppermann

Esta conjetura está relacionada con otras tres que ya hemos estudiado en este blog:

Legendre 

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/04/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html

Andrica

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html

Brocard 

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/05/conjetura-de-brocard-y-otras-cuestiones.html

La primera afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 existe siempre un número primo, la de Andrica que “La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1” y la de Brocard que “Para n>1, si representamos como p(n) al enésimo número primo, se verificará que entre p(n)2 y p(n+1)2 existirán al menos cuatro números primos”.

En las entradas enlazadas se estudian las tres y sus relaciones mutuas.

Conjetura de Oppermann

Esta conjetura está muy relacionada con las tres referidas, y es una condición más fuerte que ellas. Fue establecida por Opperman en 1882.

Afirma lo siguiente:

Para todo número entero x>1, existe al menos un número primo entre x(x - 1) y x2, y otro primo entre x2 y x(x + 1).

El que tenga un carácter más fuerte proviene de que x(x-1)>(x-1)2 y  x(x+1)<(x+1)2, con lo que los intervalos en los que se ha de encontrar un número primo se acortan.

Observamos que tanto x(x-1) como x(x+1) son números oblongos, y además consecutivos, siendo x2 la media de ambos.

Al igual que nos ocurrió con la conjetura de Legendre, si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Opperman se podría expresar así:


Lo interesante aquí es que las desigualdades son estrictas, lo que indica que existen números primos intercalados, que es lo que afirma la conjetura.

Comprobación de la conjetura

Como en anteriores entradas de esta serie, usaremos nuestra herramienta conjeturas.xlsm, que puedes descargar desde la página

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm

Esta hoja posee algunas funciones interesantes, aunque el trabajo de comprobación depende de nosotros. Hemos construido un esquema que nos permitirá la comprobación. Puedes intentarlo también. El nuestro es así:



En primer lugar se ha diseñado la cabecera, de forma que contenga los tres valores que figuran en la conjetura, N(N-1), N2 y N(N+1). Entre ellos se han reservado dos columnas para que aparezcan los números primos que anuncia la conjetura.

La estructura es muy sencilla. Todo depende del número que escribamos en la parte superior izquierda, en la imagen el 100. Debajo de él figurarán automáticamente los siguientes. Esto no es necesario, bastaba con un número, pero así percibimos mejor la potencia de la conjetura. Hemos programado que cada celda sea igual a la anterior más una unidad.

Las columnas N(N-1), N2 y N(N+1) son fáciles de rellenar en una hoja de cálculo y no las explicaremos. Las correspondientes a los primos que se esperan las hemos rellenado con la función PRIMPROX, que nos da el próximo primo mayor que un número. En la segunda columna aparecerá PRIMPROX(N(N-1)) y en la cuarta PRIMPROX(N2).

Esta función nos da el primer primo entre esos números, pero con eso nos basta, ya que sólo deseamos resaltar que existe uno al menos. Si hubiera más, aparecería el primero de ellos.

Bastará ahora elegir números más pequeños o mayores para que verifiquemos la conjetura en casos particulares.



Forzamos la hoja de cálculo con números mayores:



Si forzamos un poco más, ya no podemos contar con el cálculo en números enteros, y la hoja nos da error:



Esto es normal y lo tenemos asumido en este blog. No pretendemos grandes cálculos, imposibles con el formato de coma flotante, sino crear esquemas que nos ayuden a entender mejor las conjeturas.

La conjetura afirma la existencia de un número primo, pero en la práctica pueden aparecer muchos más. En la imagen que sigue hemos usado la función PRIMENTRE, que también está incluida en la hoja Conjeturas, y se puede observar que el número de primos es considerable.



Relación con la espiral de Ulam

Si observamos una imagen de la espiral de Ulam, nos daremos cuenta de que la conjetura que estudiamos viene a decir que cada lado de dicha espiral ha de contener un número primo.



Ya sabemos que pueden existir más. La imagen está tomada de nuestro documento

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm

que puede tener los vértices algo desplazados, pero se ven con claridad los distintos oblongos y cuadrados de cada lado y los primos comprendidos entre ellos.

Conjetura de Schinzel

Se puede afinar más la conjetura de Opperman. Schinzel conjeturó que para x>8, existe al menos un número primo entre x y x+(lnx)2.

Te invitamos a comprobarlo. En la imagen puedes ver cómo lo hemos hecho en este blog: