miércoles, 23 de marzo de 2016

Volvemos a los números "arolmar" (4) ¿Qué hay entre dos arolmar?


Esta es la cuarta entrada de la serie que dedicamos a estos números de nuestra invención. Si deseas leer las anteriores basta con que señales la etiqueta “Números AROLMAR” en el blog.

Una cuestión que ya estudiamos en otra entrada respecto a los números primos, la aplicamos hoy a los números arolmar. Deseamos saber qué hay entre dos arolmar consecutivos, por ejemplo si hay primos, cuadrados, triangulares y otros. La frecuencia de nuestros números es similar a la de los números primos, por lo que los resultados mostrarán similitudes. Comenzamos con los cuadrados.

Cuadrados entre dos arolmar

En la primera entrada de esta serie

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html

definimos la función esarolmar, tanto para Basic VBA como para PARI. Ahora necesitaremos la función proxarol, que devuelve el primer arolmar que sigue a cualquier número:

Function proxarol(a) As Long (Versión para VBA)
Dim p, prim As Long
Dim sale As Boolean

p = a + 1: sale = False: prim = 0
While Not sale
If esarolmar(p) Then prim = p: sale = True
p = p + 1
Wend
proxarol = prim
End Function

No necesita mucha explicación para entender el proceso: va avanzando en los números siguientes al dado hasta encontrar el primer arolmar.

La función en PARI, basada en la ya definida esarolmar, quedaría así:

proxarol(n)={local(p=0,k);k=n+1;while(p==0,if(esarolmar(k),p=k);k+=1);p}

Con esta función podemos investigar qué tipo de números se puede encontrar entre dos arolmar consecutivos. Comenzamos con los cuadrados. En Basic se puede programar así:

Function num_entrearol(n, tipo)
Dim nm, p, i
nm = 0

If esarolmar(n) Then
p = proxarol(n)
For i = n + 1 To p - 1
Select Case tipo
Case 1: If escuad(i) Then nm = nm + 1
Case 2: If estriangular(i) Then nm = nm + 1
End Select
Next i
End If

num_entrearol = nm
End Function

Está preparada para contar cuadrados, triangulares u otros según el tipo. En el listado nos hemos limitado a los casos cuadrado o triangular. También se adapta a PARI, pero no lo incluimos por no alargar.

Al recorrer esta función para cuadrados en todos los números arolmar nos llevamos una sorpresa: entre dos arolmar consecutivos aparecen como mucho dos cuadrados. En efecto, aquí tienes el listado para los primeros:



De hecho, el valor de 2 sólo se alcanza en el 33 y el 309. En el resto sólo se han encontrado o un cuadrado o ninguno. Una causa probabilística de esto es que los cuadrados se van espaciando, para cada N en un incremento de 2N+1, mientras que los arolmar siguen un crecimiento aproximadamente lineal con incrementos próximos a 17. Hemos probado hasta 10^7 sin encontrar dos arolmar consecutivos entre los que existan tres cuadrados. La cota se queda en 2 para los casos citados. El 309 lo volveremos a encontrar más adelante, ya que presenta una diferencia grande con el siguiente arolmar.

Expresamos la conjetura:

Entre dos números arolmar consecutivos mayores que 309, existe a lo más un cuadrado.

Triangulares comprendidos

Esperamos aquí un fenómeno similar, ya que los triangulares crecen con incrementos también crecientes. Acudimos al programa en Basic y nos queda:


Descubrimos un 3, lo que es lógico, ya que los triangulares dejan intervalos entre ellos más pequeños que los cuadrados. Con el valor 3 aparecen los mismos números que en el caso de los cuadrados: el 33, que está seguido por los triangulares 36, 45 y 55 antes de llegar al siguiente arolmar 57, y el 309, seguido de 325, 351 y 378.

Esto nos hizo sospechar que nunca se daría el valor 4. Hemos adaptado nuestro código en PARI y, en efecto, para n<10^7 no se presenta ningún 4. Lo damos por bueno, como conjetura:

Entre dos números arolmar consecutivos mayores que 309, existen a lo más tres triangulares.

¿Ocurrirá algo parecido con los oblongos, dobles de triangulares o los poligonales?

Así es: sólo en los valores 33, 265 y 309 se intercalan 2 oblongos. Hemos buscado el valor 3 y no aparece. Con los pentagonales sólo poseen el valor 2 los ya sabidos 33 y 309. Prueba con otros tipos, pero por nuestra parte ya está bien. Hemos descubierto de paso que estos números 33 y 309 presentan un comportamiento especial.

Primos intercalados

Vimos en entradas anteriores que el ritmo de aparición de primos y de números arolmar es parecido. Por eso no debe extrañar que se den muchos valores distintos al contar primos entre dos arolmar consecutivos. Desde 0 hasta 30 aparecen para números inferiores a un millón. Aquí tienes los primeros:



Llama la atención que de nuevo el 309 destaca, en este caso por tener 14 primos intercalados hasta el siguiente arolmar 393. No es nada extraordinario, pues un par que está distanciado entre sí.

Potencias de primo

Si en lugar de contar primos contamos sus potencias no triviales (de exponente mayor que 1), el número de intercalados disminuye bastante:



Entre 21 y 33 aparecen 5^2, 3^3 y 2^5, y entre 105 y 129, 11^2, 5^3 y 2^7. Detrás de estos hay que saltar al 2173 y no aparecen más, al menos hasta 10^7.

Consideraciones probabilísticas nos llevan a pensar que no hay más casos.

Como resumen destacamos que el comportamiento de los intervalos entre arolmar es bastante parecido al comprendido entre primos, pero con las frecuencias de aparición un poco mayores.