viernes, 12 de febrero de 2016

Volvemos a los números "arolmar" (3) Coincidencias

Proseguimos hoy el estudio y curiosidades que presentan nuestros números arolmar, aquellos libres de cuadrados en los que la media de sus factores primos es también un número primo. Esta es la tercera entrada de la serie. Puedes leer previamente las dos anteriores. Para ello busca en este mismo blog la etiqueta "Números AROLMAR"



Los números arolmar pueden presentar otras características, pertenecer a otro tipo de números. Por definición, no pueden ser primos ni cuadrados, pero sí, por ejemplo, triangulares. Aquí tienes los primeros números arolmar que también son triangulares:

(En la tabla figura el número n, su orden como triangular y sus factores)



Entre ellos hay pocos semiprimos, ya que se pueden necesitar más factores para construir una expresión del tipo n(n+1)/2. Un caso especial es el 231, que es triangular de orden también triangular.

Como ser triangular aquí es una mera casualidad, no aparecen muchos. Inferiores a 10000 sólo hay los diez de la tabla.

También pueden ser pentagonales:


O hexagonales:



Otra causalidad es que un arolmar pertenezca a la sucesión de Fibonacci. Entre los inferiores a 25000 sólo hemos encontrado estos dos, el 21, de orden 8 y el 987, de orden 16.

Existen también palindrómicos

33
393
505
565
949
969
1221
1441
5885

Y también hipotenusas de ternas pitagóricas:

N          Catetos
85          13 ,  84
105        63 ,  84
145        17 ,  144
195        48 ,  189
205        45 ,  200
265        23 ,  264
445        84 ,  437

Parecerá que deben ser múltiplos de 5, pero no es necesario. El siguiente en la lista es el 493.

Con estos ejemplos vemos que los números arolmar están entremezclados con los de otros tipos, compartiendo términos con muchos de ellos. La principal causa de esto es su relativa abundancia y su tendencia casi lineal (ver la primera entrada de esta serie http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html), que los aproxima a otros que presentan tendencias distintas.

Números arolmar interprimos

En la entrada anterior  (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2016/01/volvemos-los-numeros-arolmar-2.html) presentamos pares de números arolmar gemelos entremezclados con primos gemelos. Esto nos anima a buscar interprimos, es decir, números que son media aritmética entre dos números primos consecutivos. Ya señalamos que la abundancia de los números arolmar propicia que aparezcan bastantes situaciones que planteemos. Esta es una de ellas. Basta ver la tabla para darse cuenta de la abundancia de los números arolmar interprimos:



Comprueba con algunos casos que los números primos son consecutivos y que su media es el número arolmar.

Un número arolmar, por definición, produce un número primo como media de sus divisores primos. Así tendríamos una generación de primos a partir de dos de ellos consecutivos. Esto no es más que una curiosidad, pero muy atractiva. Tienes un ejemplo en la imagen siguiente:



Es evidente que esta generación sólo tiene lugar si los dos primos tienen como media un número arolmar. Lo destacable, y eso lo hemos visto en anteriores entradas, es que los números arolmar relacionan números primos con otros fácilmente. En la siguiente entrada veremos más.

Dobles interprimos

Recientemente hemos publicado la sucesión de dobles interprimos (https://oeis.org/A263674), aquellos que son media de dos primos consecutivos y también del anterior y el posterior a ese par. Por ejemplo, es doble interprimo el 9, porque 9 = (7+11)/2 = (5+13)/2, con 5, 7, 11, 13 primos consecutivos. También entre ellos figuran algunos arolmar:


Estos son los primeros que aparecen. Hemos incluido sus factores y media prima, así como los cuatro primos consecutivos de los que el arolmar es media de dos en dos (y por tanto, también de los cuatro). Se observa que no existe relación aparente entre la media prima y los valores y diferencias entre los cuatro primos consecutivos. Era de esperar.

¿Existen arolmar equilibrados?

Llamaremos arolmar equilibrados a aquellos que son media de otros consecutivos con ellos y de la misma clase (también arolmar).

Sí existen, y son estos:



En ellos el número arolmar del centro es media entre los dos extremos, que también son arolmar. Vemos, por ejemplo, la terna 2245, 2255 y 2265. Es evidente que el central es media de los otros dos. En la siguiente tabla los analizamos:


Los tres son compuestos, libres de cuadrados y media prima, luego 2255 es un arolmar equilibrado. Como en curiosidades anteriores, la media prima resultante no ha de tener ninguna relación aparente con la terna que elijamos.

Entre ellos figurarán las ternas de gemelos, cousin o sexy.

Arolmar abundantes

Al ser los arolmar números libres de cuadrados parece que no habrá muchos entre ellos que sean abundantes, es decir, que sus divisores propios presenten una suma mayor que el número dado, o bien que sigma(n)>2n (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_abundante)

Efectivamente, hasta el 33495 no aparece ningún arolmar abundante. En la siguiente tabla están contenidos los primeros, junto con su descomposición factorial, el cociente sigma(n)/n y la media prima:



Llama la atención que todos contienen como factores 3, 5, 7 y 11 o 13, y que, por tanto, la media prima sea también relativamente pequeña. Parece ser que la existencia de primos pequeños propicia que existan más divisores y su suma aumente hasta sobrepasar 2n. Dejamos esta cuestión para otro momento.

Podríamos seguir buscando coincidencias con otros tipos de números, pero parece quedar claro que rara es la propiedad que no está presente en algún término de nuestra sucesión.