lunes, 1 de febrero de 2016

Los interprimos (2)

En la anterior entrada estudiamos los números interprimos, que son media de dos primos consecutivos. Entre ellos había cuadrados y triangulares. Veremos ahora otros tipos.

Otros interprimos

Oblongos

Un oblongo puede ser también interprimo. Los primeros son estos:

6, 12, 30, 42, 56, 72, 240, 342, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 870, 1056, 1190, 1482, 1722, 1806, 2550, 2652, 2970, 3540, 4422, 6320, 7140, 8010, 10302, 12656, 13572, 14042, 17292, 18360, 19182, 19460, 20022, 22952,…

Esta sucesión estaba inédita y la hemos publicado en https://oeis.org/A263676

Por su propia definición, todos son pares. Si estudiamos sus restos respecto al 6, veremos que sólo pueden ser 0 y 2, es decir, todos los oblongos de esta sucesión han de tener la forma 6k o bien 6k+2. La razón es que los primos son todos del tipo 6k+1 o 6k+5. Intenta encontrar sus medias y verás que nunca pueden ser del tipo 6k+4.

Potencias de primo no triviales

Las potencias de un primo aparecen en muchas cuestiones sobre números. Tampoco faltan entre los interprimos. Los primeros son estos:

4, 9, 64, 81, 625, 1681, 4096, 822649, 1324801, 2411809, 2588881, 2778889, 3243601, 3636649, 3736489, 5527201, 6115729, 6405961, 8720209, 9006001, 12752041, 16056049, 16589329, 18088009, 21743569, 25230529, 29343889, 34586161, 37736449, …

Los más abundantes son los cuadrados de primos, como puedes comprobar en la lista.

Se pueden engendrar en PARI (nosotros los hemos comprobado con hoja de cálculo) mediante este código:

{for(i=1,10^10,if(isprimepower(i)>1&&i==(precprime(i-1)+nextprime(i+1))/2,write1("final.txt",i,", ");print(i)))}

Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A263675

La función isprimepower es muy útil, pues da el posible exponente de la potencia de primo que buscamos. Como deseamos que dicha potencia no sea trivial, exigimos que el valor de la función sea mayor que 1. Es muy curiosa la lista de potencias en base pequeña que son interprimas. Las más destacadas son:

Potencias de 2

4, 64, 4096, 75557863725914323419136, 3064991081731777716716694054300618367237478244367204352,…

Por ejemplo, 75557863725914323419136=2^76 es interprimo entre 75557863725914323419121 y 75557863725914323419151. Es una simple curiosidad, pero impresiona que hayamos podido llegar a encontrar estos ejemplos.

Potencias de 3

9, 81, 387420489, 3486784401, 7509466514979724803946715958257547, 147808829414345923316083210206383297601, 11433811272836884826665874049685357613602127080237382571153151471568389249023393608050222706416077770721, 448892491307036257313398359006707643432387469456810160991926368303464199896097475113561830407152947942076292623881529083368591747123618100530770752056321305926194706763551153705251146130442138394723337920866081218864301061606664140464321,

Potencias de 5

5, 625, 32311742677852643549664402033982923967414535582065582275390625, 161558713389263217748322010169914619837072677910327911376953125,

Una buena cuestión, que daríamos por verdadera, es si existen infinitas potencias de este tipo.

Dobles interprimos

A los interprimos, que son media entre dos primos consecutivos, les podíamos exigir que también lo fueran respecto al anterior y al siguiente primo de ese par. Es decir, que dados cuatro primos consecutivos p, q, r y s, exista un número N tal que N=(p+s)/2 y N=(q+r)/2. Esto se cumplirá cuando q-p = s-r, lo cual no quiere decir que los cuatro estén en progresión aritmética.

Un ejemplo: 600 es doble interprimo, porque está en el centro de los cuatro primos consecutivos 593, 599, 601 y 607, cumpliéndose que 600 = (599+601)/2 = (593+607)/2.

No es difícil encontrarlos, y no son escasos. Los primeros que aparecen son:
9, 12, 15, 18, 30, 42, 60, 81, 102, 105, 108, 120, 144, 165, 186, 195, 228, 260, 270, 312, 363, 381, 399, 420, 426, 441, 462, 489, 495, 552, 570, 582, 600, 696, 705, 714, 765, 816, 825, 858,…

(Los publicamos en https://oeis.org/A263674)

A primera vista todos parecen ser múltiplos de 2 o 3, pero, como nos ocurrió con una propiedad similar, esa afirmación es falsa. El primer contraejemplo es 2405, doble interprimo entre 2393, 2399, 2411 y 2417.