lunes, 11 de enero de 2016

Volvemos a los números AROLMAR (2) Diferencias


En una entrada anterior, cuya lectura previa recomendamos,

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html

se desarrollaron algunas técnicas para la búsqueda e identificación  de los números arolmar (aquellos números compuestos que tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo). En esta buscaremos propiedades y curiosidades sobre ellos.

Todos son impares

No puede haber números pares en esta sucesión arolmar, porque en ese caso uno de los factores primos sería 2 (elevado a la unidad por ser libres de cuadrados) lo que daría lugar a lo siguiente:

Si el 2 está acompañado de un número impar de primos impares, su suma con el 2 sería impar, y al hallar el promedio deberíamos dividir entre un número par, lo que produciría un promedio no entero. Si el número de factores primos que acompañan al 2 es par, la suma de todos sería par, pero habría que dividir entre un impar, con lo que, en el caso de media entera, esta sería par y no prima.

No obstante este razonamiento, hemos generado términos hasta altas potencias de 10 sin encontrar ningún par, como era de esperar.

Estudio de las diferencias

Podemos encontrar números arolmar que se diferencien en un número par dado 2K. Así podemos encontrar, por ejemplo números arolmar gemelos (que se diferencien en 2 unidades). Usaremos esta función para ver si N y N+2K son ambos del tipo arolmar:

Public Function aroldif(n, k) As Boolean
If esarolmar(n) And esarolmar(n + 2 * k) Then aroldif = True Else aroldif = False
End Function

(Tienes la descripción de la función esarolmar en la anterior entrada citada)

Si formamos un bucle con todos los números naturales hasta un tope y una diferencia dada, se nos devolverán aquellos números N del tipo arolmar tales que N+2k también lo sea.

Números arolmar gemelos

Si hacemos k=1 y pasamos la función anterior a un conjunto de números, obtendremos la lista de los números arolmar gemelos. Son estos:


En las dos primeras columnas tenemos los pares de números arolmar gemelos, en las siguientes su descomposición en factores primos, y en las últimas, los promedios primos de sus factores. Los hemos incluido para que se destaque que aparecen valores promedio bastante alejados, especialmente si el número de primos en la descomposición es diferente en ellos.

También se observa que ambos gemelos han de tener factores primos diferentes. Si hubiera uno igual en ambos, al sacarlo factor común veríamos que la diferencia debería ser mayor que 2. Destacamos en la tabla el par (5883,5885), que produce primos promedio muy cercanos, 31 y 41.

Como estas entradas van de curiosidades en gran parte, incluimos ahora conjuntos de cuatro impares consecutivos, en los que los dos primeros son del tipo arolmar y los últimos primos gemelos:

Arol,    Arol,   Primo, Primo
3367,   3369,   3371,   3373
5017,   5019,   5021,   5023
15637, 15639, 15641, 15643
16645, 16647, 16649, 16651
23737, 23739, 23741, 23743
42277, 42279, 42281, 42283
48307, 48309, 48311, 48313
52285, 52287, 52289, 52291
52357, 52359, 52361, 52363
91093, 91095, 91097, 91099

Por su magnitud vemos que no parece ser un caso infrecuente, y que surgirán más en números mayores.

También existen conjuntos similares, pero con los dos primos gemelos anteriores a los gemelos arolmar:

Primo,   Primo,   Arol,      Arol
5879,     5881,     5883,     5885
59357,   59359,   59361,   59363
82529,   82531,   82533,   82535
116189, 116191, 116193, 116195
121439, 121441, 121443, 121445
122609, 122611, 122613, 122615
152039, 152041, 152043, 152045
192629, 192631, 192633, 192635
206909, 206911, 206913, 206915
223829, 223831, 223833, 223835

Y ya, por terminar, situaremos a los arolmar en el centro y los primos en los extremos:

Primo, Arol,    Arol,    Primo
7681,   7683,   7685,   7687
10831, 10833, 10835, 10837
23167, 23169, 23171, 23173
27067, 27069, 27071, 27073
28387, 28389, 28391, 28393
30631, 30633, 30635, 30637
33311, 33313, 33315, 33317
33931, 33933, 33935, 33937
37561, 37563, 37565, 37567

Os invitamos a encontrar otras posibilidades.

Números arolmar cousin (se diferencian en 4)

Usando la misma técnica que con los gemelos, podemos encontrar pares (N, N+4) entre los arolmar. Los primeros son:




Al igual que los anteriores, estos tampoco pueden tener factores primos comunes, pues en ese caso la diferencia no podría ser 4. Predominan los pares en los que uno de los términos es múltiplo de 3, con pocas excepciones, como 19561=31*631 y 19565=5*7*13*43. Como ambos son impares, si el primero es múltiplo de 3 se cumplirá que el segundo es del tipo 6k+1. Basta desarrollar 3*(2m+1)+4=6m+7=6k+1. Si el múltiplo de 3 es el segundo, el primero será 3*(2m+1)-4=6m-1

Los arolmar sexy

En los pares (N,N+6) sí puede existir el factor común 3, y es un caso que se presenta frecuentemente:



Como en casos similares, nos podemos preguntar si existirán pares con cualquier diferencia par que imaginemos. En la tabla siguiente hemos reflejado la primera aparición de dos números arolmar con diferencia 2k igual al doble de la dada k.



Podemos confiar en que sea verdadera la conjetura de que para una diferencia dada 2k siempre existirá un par de números arolmar con esa diferencia.

Hemos proseguido con PARI y para las primeras 1000 diferencias pares nos resultan números arolmar no excesivamente grandes.

913, 129, 231, 85, 195, 21, 217, 69, 177, 85, 195, 33, 205, 57, 597, 145, 231, 21, 445, 93, 195, 85, 889, 21, 145, 33, 177, 253, 195, 33, 133, 21, 129, 145, 195, 21, 553, 57, 231, 133, 483, 21, 145, 57, 105, 85, 1239, 33, 133, 33, 93, 133, 1239, 21, 85, 21, 195, 133, 663, 57, 505, 21, 69, 85, 663, 85, 493, 69, 57, 253, 793, 33, 85, 57, 483, 85, 627, 21, 469, 57, 33, 85, 627, 69, 493, 33, 21, …

Ello puede ser debido a la tendencia prácticamente lineal de los números arolmar.

Ternas de números arolmar gemelos

Ya hemos adivinado que los números que estudiamos son más asequibles que los primos para ciertas propiedades. Por ejemplo, podemos encontrar muchas ternas de números arolmar con diferencia igual a 2:

4713,   4715,   4717
12813, 12815, 12817
26941, 26943, 26945
27861, 27863, 27865
46293, 46295, 46297
56013, 56015, 56017
57757, 57759, 57761
63969, 63971, 63973
66009, 66011, 66013…

Dejamos a los lectores su búsqueda, así como otras estructuras similares. Sólo daremos algún otro ejemplo destacado.

663243, 663245, 663247, 663249, es una cuaterna de números arolmar gemelos. Aquí tienes el desarrollo:



979145, 979147, 979149, 979151 es la siguiente.

Con cinco pares consecutivos hemos encontrado estos: 10075387, 10075389, 10075391, 10075393, 10075395. La comprobación es esta:



Os dejamos el resto de búsquedas de este tipo.