miércoles, 22 de enero de 2014

Identidad de cifras con una parte de un número

Estudiamos en la entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/identidad-de-cifras-con-el-mayor.html) la coincidencia en la suma de cifras de un número par con su mayor divisor impar. Probemos ahora con otras funciones

Con la parte libre

Si no recuerdas qué son la parte cuadrada y la parte libre de un número natural puedes consultar http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html

Si tomamos números no libres de cuadrados, su parte libre será distinta de ellos, y podemos plantear también la igualdad de suma de cifras. Son estos:

12, 24, 60, 100, 120, 132, 150, 156, 200, 204, 228, 240, 264, 276, 300, 320, 348, 372, 420, 500, 516, 552, 600, 624, 636, 660, 700, 708, 732, 744, 780, 912, 1000, 1014, 1050, 1056, 1068, 1092, 1100, 1128, 1164, 1200, 1212, 1216, 1236, 1248, 1272, 1300, 1308, 1320, 1356, 1380, 1392, 1400, 1416, 1425, 1428, 1464, 1500…

Todos ellos contienen un cuadrado mayor que 1, por lo que su parte libre será menor que ellos. Por ejemplo, la parte libre de 1200 es 3, porque 1200=3*202. Se cumple que la suma de cifras de 1200 es también 3.

N será igual a N=PL(N)*k2, con lo que la condición ahora será PL(N)(k2-1) es múltiplo de 9 (representamos la parte libre mediante el símbolo PL).

Aquí hay una novedad respecto a la anterior entrada, y es que PL(N) no puede ser múltiplo de 9, pues contendría un cuadrado, luego sólo lo podría ser de 3 y (k2-1) aportaría el otro 3, o bien PL(N) no es múltiplo de 3, con lo que (k2-1) debería serlo de 9. Analizamos:

(A) PL(N) es múltiplo de 3 y (k2-1) también

Para que se cumpla la segunda condición basta con que k no sea múltiplo de 3, como puedes razonar fácilmente. Esto ocurre, por ejemplo en el 156=4*39, en el que el cuadrado 4 no es múltiplo de 3 y la parte libre 39 sí lo es.

(B) Si PL(N) no es múltiplo de 3, (k2-1) lo será de 9

En ese caso k2 será congruente con 1 módulo 9

Ocurre en los términos 100, 200, 320, 500, 700, 1000, 1100, 1216, 1300, 1400, 1700, 1900, 2023, 2200, 2240, 2300, 2432, 2600…

En ellos el valor de k puede ser 8, 10, 17, 19, 26… que son los números cuyo cuadrado es congruente con 1 módulo 9 (http://oeis.org/A056020).

Hemos publicado esta sucesión en http://oeis.org/A230355

El código para obtenerlos en PARI es muy parecido al de la anterior entrada:

digsum(n)={local (d, p); d=0; p=n; while(p, d+=p%10; p=floor(p/10)); return(d)}
{for (n=2, 10^3,m=core(n);if(digsum(n)==digsum(m)&&m<>n,print(n)));}

Con la parte cuadrada

De forma simétrica, si tomamos números no cuadrados, que son distintos de su parte cuadrada, podremos plantear también la identidad de la suma de cifras. Resultan ser estos:

10, 18, 27, 40, 45, 54, 63, 72, 90, 108, 117, 126, 135, 153, 160, 162, 171, 180, 207, 216, 220, 234, 243, 250, 252, 261, 270, 304, 306, 315, 333, 342, 351, 360, 405, 414, 423, 432, 450, 490, 504, 513, 522, 531, 540, 603, 612, 621, 630, 640, 702, 711, 720, 801, 810, 931…

Si tomamos, por ejemplo, 270, su parte cuadrada es 9 y la suma de cifras es también 9. Entre ellos están los de la forma N*10 con N cuadrado, en los que la igualdad de sumas de cifras es trivial.

Siguiendo el mismo razonamiento de casos anteriores, si denominamos PC(N) a la parte cuadrada de N, tendremos que la diferencia entre ambos ha de ser múltiplo de 9:

N-PC(N)=PC(N)*(PL(N)-1), siendo PL(N) la parte libre, ha de ser múltiplo de 9. Al analizarlo, las consideraciones son inversas a las del caso anterior:

PC(N) múltiplo de 3

En ese caso también lo será de 9, y la parte libre puede ser cualquiera. En la sucesión figurarán múltiplos de 9 que no sean cuadrados, pero no todos, porque la condición no es suficiente: 99 es múltiplo de 9, no es cuadrado, pero sus cifras suman 18 y las de su parte cuadrada 9. Son congruentes módulo 9, pero no iguales.

PC(N) no múltiplo de 3

En ese caso, PL(N) -1 será congruente con 9, y eso sólo ocurre en los números del tipo 9k+1 que sean libres de cuadrados: 1, 10, 19, 37, 46, 55, 73, 82, 91, 109, 118,…

En esta tabla tienes analizados los primeros ejemplos: si en la segunda columna no figura un múltiplo de 9, entonces en la tercera aparecerán 10, 19,…55,…


Con el lenguaje PARI se buscan estos números de forma similar a la del anterior caso, sustituyendo m=core(n) por m=n/core(n), Los tenemos publicados en http://oeis.org/A230356


Último ejemplo

Números compuestos que coinciden en su suma de cifras con su función SOPF (suma de factores primos tomados sin repetición)

22, 94, 105, 114, 136, 140, 160, 166, 202, 222, 234, 250, 265, 274, 346, 355, 361, 382, 424, 438, 445, 454, 516, 517, 526, 532, 562, 634, 702, 706, 712, 732, 812, 913, 915, 922, 1036, 1071, 1086, 1111…

Lo habrás adivinado ya. La hemos publicado en http://oeis.org/A230357

Código PARI

sopf(n)= { local(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); return(s) }
digsum(n)={local (d, p); d=0; p=n; while(p, d+=p%10; p=floor(p/10)); return(d)}
{for (n=4, 2*10^3,m=sopf(n);if(digsum(n)==digsum(m)&&m<>n,write1("final.txt",n,", ")));}

Otros ejemplos ya publicados

Números de Smith

En ellos la suma de sus cifras coincide con las de sus factores primos tomados con repetición, como el 666, cuyas cifras suman 18 y las de su desarrollo en factores primos 2*3*3*37 también: 2+3+3+3+7=18. Los tienes en http://oeis.org/A006753

Números “hoax” (o engañosos)

Poseen la misma propiedad pero tomando los primos sin repetir. 424=2^3*53 y las sumas de cifras son: 4+2+4=10. 2+5+3=10, tomando el 2 una sola vez. También están publicados en http://oeis.org/A019506

Si te pones a ello podrás descubrir más ejemplos.