Identidad de cifras con el mayor divisor impar

Observa esta sucesión de números

12, 18, 36, 54, 60, 72, 90, 108, 126, 132, 144, 156, 162, 180, 198, 204, 216, 228, 234, 240, 252, 270, 276, 306, 320, 324, 342, 348, 360, 372, 378, 396, 414, 420, 432, 450, 504, 516, 522, 540, 558, 594, 612, 624, 630, 636, 660,…

Si los divides entre 2 todas las veces posibles, el cociente (que es su mayor divisor impar) presenta la misma suma de cifras que el número original. Por ejemplo, las cifras de 660 suman 12. Lo voy dividiendo entre 2: 660, 330, 165, y el cociente 165 también tiene unas cifras que suman 12.

Al igual que hicimos en la entrada http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/mayor-divisor-propio-con-la-misma-suma.html, aprovecharemos esta cuestión para repasar algunas cuestiones teóricas.

El mayor divisor impar (MDI(N)) de un número par N es siempre divisor propio, y la relación entre ambos es la de N=MDI(N)*2^k, siendo k el mayor exponente posible tal que 2^k divide a N y recibe el nombre de valuación de N respecto a 2 (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/volvemos-visitar-al-mayor-divisor-impar.html)

Si B es el mayor divisor impar de A se cumple A=B*2^k siendo k la valuación de A respecto a 2. En el caso que nos ocupa A sería par y k>0

Condición necesaria de igualdad de sumas

Busquemos números pares que presenten la misma suma de cifras que su mayor divisor impar (MDI)
Si dos números presentan la misma suma de cifras es que son congruentes módulo 9, según vimos en la entrada referida más arriba.

Por tanto tendremos, NºMDI(N) (mod 9, o lo que es igual, N-MDI(N) ha de ser múltiplo de 9. Sustituimos N por MDI(N)*2^k y obtenemos: MDI(N)*2^k-MDI(N)=MDI(N)(2^k-1) ha de ser múltiplo de 9.

Pueden ocurrir tres hechos para que esto se cumpla:

(a) Si MDI(N) es múltiplo de 9, se cumple seguro, y como N es par, habrá en la sucesión múltiplos de 18. Compruébalo: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162…

Unos términos de la sucesión serán múltiplos de 18

(b) Si MDI(N) es múltiplo de 3 pero no de 9, (2^k-1) ha de ser múltiplo de 3, lo que ocurre para k=0, 2, 4, 6, y los pares, porque 2²ⁿ-1=M(2²-1)=M*3. Otra forma de verlo consiste en tener en cuenta que en este caso 2^kº1 (mod 3, es decir, que 1 ha de ser resto de 2^k respecto a 3, y eso sólo ocurre en los pares: 2⁰º1, 2¹º2, 2²º1, 2³º2, 2⁴º1,…Luego si MDI(N) es múltiplo de 3 pero no de 9, k ha de ser par.

Otros se compondrán de un múltiplo de 3 que no lo es de 9 multiplicado por una potencia par del número 2

Entre los primeros están 12, 60, 132, 156,…

Hay que recordar que estas condiciones son necesarias pero no suficientes. El número 48 se descompone como 48=3*2⁴, y sin embargo no cumple la igualdad de suma de cifras: las del 48 suman 12 y las de su mayor divisor impar, 3.

(c) Si MDI(N) no es múltiplo de 3, entonces 2^k-1 lo ha de ser de 9, y esto sólo ocurre si k es múltiplo de 6, ya que, recorriendo los restos potenciales del 2 módulo 9 obtenemos:

Esta imagen procede de nuestra herramienta

http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/hoja/potenciales.xls o su correspondiente para OpenOffice potenciales.ods.

En ella puedes observar que sólo los exponentes múltiplos de 6 producen un resto potencial igual a 1.

En la sucesión aparecerán números cuyo MDI no sea múltiplo de 3 y cuya valuación respecto al 2 sea múltiplo de 6.

Es el caso de 320, 1216, 1600, 2240…

Una cuestión de hoja de cálculo

Hemos clasificado los términos de la sucesión que estamos estudiando en tres tipos distintos. Creemos que nuestro razonamiento es correcto, pero ¿y si hubiera un error?¿y si apareciera un número que no obedeciera a estos tipos?. Podríamos obtener cuatro listas distintas, una, la general que hemos presentado arriba, y otras tres que corresponderían a los tipos presentados. Serían estas (sólo escribimos los primeros términos y se supone que incluimos sólo los que cumplen la condición de igualdad de suma de cifras):

General: 12, 18, 36, 54, 60, 72, 90, 108, 126, 132, 144, 156, 162, 180, 198, 204, 216, 228, 234,,…
Tipo A (MDI múltiplo de 9): 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252…
Tipo B (MDI múltiplo de 3 pero no de 9): 12, 60, 132, 156, 204, 228, 240, 276, 348, 372, 420,…
Tipo C(MDI no múltiplo de 3): 320, 1216, 1600, 2240,… (de estos hay menos)

En la imagen están los cuatro tipos en columna, para valores inferiores a 3000. Ahora unificamos las tres últimas y las ordenamos de menor a mayor. Así obtenemos dos listas idénticas, que constituyen nuestra comprobación para elementos menores que 3000.

Esto no prueba nada, pero aprovecha el manejo de la hoja de cálculo en una cuestión teórica.

Si te has iniciado al lenguaje PARI, muy útil en las cuestiones que estudiamos, puedes comprobar la lista anterior con estas líneas:

mdi(n)= n / 2^valuation(n, 2)
digsum(n)={local (d, p); d=0; p=n; while(p, d+=p%10; p=floor(p/10)); return(d)}
{for (n=2, 10^3,m=mdi(n);if(digsum(n)==digsum(m)&&m<>n,print(n)));}

Hemos usado este código para publicar nuestra sucesión, que estaba inédita, en http://oeis.org/A230354