lunes, 20 de mayo de 2013

Retículos en el conjunto de divisores (1)

Esta entrada y la siguiente participan en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

El conjunto de divisores de un número natural N está ordenado parcialmente mediante la relación de orden a|b (“a divide a b”) que es reflexiva, simétrica y transitiva, pero en la que dos elementos pueden no ser comparables: ni 6 divide a 13 ni 13 a 6. Por ello decimos que se trata de un orden parcial. En cualquier texto o página específica puedes leer más detalles. Con un nivel elemental, en nuestro documento sobre Teoría de la Divisibilidad http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/teoria/teordivi.pdf

Quizás sepas que el conjunto de los divisores de un número tiene estructura de retículo. Como este blog no va de Álgebra, sólo daremos una noción de este concepto en su variante de orden (existe otra definición algebraica y ambas son equivalentes)

Definimos

Se dice que un conjunto ordenado es filtrante superiormente si para cada par de elementos  a y b del mismo existe al menos otro elemento del conjunto que es mayorante de ellos (en nuestra relación de divisibilidad se traduciría como “múltiplo común”). Lo será inferiormente si existe un minorante de ambos (aquí sería un “divisor común”).

El conjunto de los divisores de N está filtrado superior e inferiormente, y además, para cada par de elementos existe un supremo, que es el mayorante mínimo (el mínimo común múltiplo), que representaremos como aÚb y un ínfimo (el máximo común divisor), representado como aÙb.
Por estas dos propiedades recibe el nombre de retículo.

Sería semirretículo si sólo cumpliera una. Investiga en un tratado de Álgebra las propiedades de estas operaciones (conmutativa, asociativa, absorbente, idempotente…). Si sólo se garantiza la existencia de un supremo, el retículo se convertiría en un sup_semirretículo, y sub_semirretículo en el caso del ínfimo.

Un retículo puede ser acotado si existe un máximo E que es mayorante de todos los demás elementos, y un mínimo F que es minorante de todos ellos. Es claro que en nuestro ejemplo N es el máximo E y 1 es el mínimo F. Se cumple que NÙb=b y que 1Úb=b. A los elementos que sólo tienen como minorante F (y distintos de él) les llamaremos átomos, y en nuestro caso son los factores primos de N. Por el contrario, si su único mayorante es E, reciben el nombre de coátomos.

Estos dos elementos E y F nos valen para la siguiente definición: un retículo acotado es complementado si para todo elemento a existe otro a’, su complemento, tal que aÚa’=E y aÙa’=F.  Aunque no nos extenderemos en esta dirección, el complemento no tiene que ser único.

Puedes investigar cuándo un retículo se convierte en un álgebra de Boole. No trataremos esto aquí.

Aquí hay que pararse:

El retículo de los divisores de N  es complementado si y sólo si  N es libre de cuadrados.

En efecto: Si N es libre de cuadrados, todos sus factores primos estarán elevados a la unidad, por lo que cada divisor a se caracterizará tan sólo por su colección de factores primos, y bastará tomar para a’ el número formado por el producto de los primos que no son divisores de a, que cumplirá trivialmente lo exigido. Por ejemplo, entre los divisores de 210 (libre de cuadrados porque 210=2*3*5*7), el complemento de 35 es 14.

Por el contrario, si no es libre de cuadrados, un divisor al menos p se presenta elevado a una potencia con exponente r mayor que 1. Busquemos el complemento q de p (sin elevar a r). En primer lugar deberá cumplir que pÙq=F o expresado mejor en este caso, p y q han de ser coprimos. Entonces q sólo podrá contener factores primos distintos de p. Pero al calcular pÚq el resultado no podrá coincidir con N, ya que el MCM(p, q) contendrá a p elevado a la unidad, mientras que N lo contiene elevado a r>1. Así que ningún candidato a complemento cumple las dos propiedades. Hemos encontrado un contraejemplo que invalida la propiedad.

Este carácter de retículo se suele expresar mediante un diagrama de Hasse, en el que cada dos elementos relacionados se unen mediante una línea, no teniendo en cuenta la propiedad reflexiva y aprovechando la transitiva para eliminar líneas. Aquí tienes el correspondiente a 150:



Se comprende que hay otras formas de ordenarlo y dibujarlo. Es un buen ejercicio identificar el carácter de un número según su diagrama de divisores (potencia de un primo, semiprimo, libre de cuadrados…)

Presentada esquemáticamente la teoría, nos dedicaremos a descubrir algunos retículos y semirretículos que se dan en el conjunto de divisores de N. Todo él completo hemos visto que es un retículo.

Pero eso queda para otro día