La conjetura de Collatz en un Taller de Matemáticas

(Esta es nuestra contribución al Carnaval de Matemáticas 2.4 coordinado en esta ocasión por seispalabras)


Ideas para el aula

Después de leer una entrada sobre la conjetura de Collatz en el blog Matemáticas educativas he recordado las investigaciones escolares que realicé hace años con unos alumnos de Taller de Matemáticas. He buscado la hoja de trabajo y la comparto hoy debidamente adaptada por si fuera útil a alguien. Mi recuerdo es muy positivo, pues incluso un alumno aventajado se inventó un teoremita que ahora no puedo recordar.

Nivel 1 – Oservación

Un misterio matemático

En esta primera fase el objetivo es que todo el alumnado, individualmente, por parejas o grupos, entienda bien de qué va la conjetura de Collatz.  Se puede organizar al final de una clase y pedirles que reflexionen en casa y traigan algún resultado o comentario.

Recomendamos que se use la calculadora o el cálculo mental y que trabajen por parejas, para que uno teclee y otro tome nota.

Texto

El fenómeno que vas a ver ahora tiene intrigados a los matemáticos y no saben explicar las razones del mismo. Consiste en el siguiente juego:


Piensa un número entero, por ejemplo el 11

•  Ahora, si es  par, lo divides por 2 y si es impar lo multiplicas por 3 y le sumas 1
•  Repite el cálculo anterior con el número que salga y así con el siguiente y con el siguiente...hasta… que observes algo.

Comenzamos:   11 es impar, luego  11   ==>  11*3+1 = 34
                         34 es   par, luego  34    ==>   34/2   = 17
                         17 es impar, luego  17   ==>  17*3+1 = 52
                         52 es   par, luego  52   ==>  52/2   =26
¿Cuál es el final de estas sucesiones? Prueba con varios números

Nivel 2: Exploración

Cúspides y órbitas

Esta segunda parte se puede organizar con hoja de cálculo y una PDI para la presentación de la tarea. Consiste en automatizar el trabajo creando una columna con los términos de la sucesión recurrente. Se deja una celda preparada para el número inicial (semilla) y después se extiende hacia abajo la fórmula de recurrencia. Sería deseable construir un gráfico sobre unos 100 términos de la sucesión.

Texto

Lo que calculamos ayer se hizo un poco pesado. Se lo pediremos al ordenador. Abre la hoja de cálculo Calc, reserva una celda para la semilla y a partir de la celda que está debajo de ella extiende esta fórmula. Cuando escribimos An-1 nos referimos a la celda de arriba


=SI(RESIDUO(An-1;2)=0; An-1/2; 3*An-1+1)


(Lo de RESIDUO significa “resto de dividir”. Si vale cero es que es par. En Excel debes escribir RESTO)
Extiende la fórmula hacia abajo hasta un total de 100 o 200 celdas (si necesitas más sigues extendiendo). Escribe un número como semilla en la primera celda y crea un gráfico lineal con esta columna de números


Debe quedarte así:

Explica qué ha ocurrido: ¿Cómo termina siempre la sucesión aunque cambies la semilla?


Cambia la semilla a tu gusto, con un número entero positivo. Siempre ocurrirá lo mismo: acabará en 1.


Lo que acabas de descubrir ocurre para todos los números enteros, pero nadie sabe todavía la razón.


Muchos matemáticos intentan demostrarlo sin éxito. (Al menos al escribir este texto).


El conjunto de los números que se recorren cuando haces este juego se llama  Órbita. Para ver la órbita de un número dado, lo escribes como semilla y rellenas hacia abajo hasta que veas  el primer 1 en la sucesión.


Por ejemplo, el 11 tiene una órbita de 15 números 11,34,17,52,....,4,2,1. Compruébalo.


Llamaremos  cúspide absoluta de la órbita al punto más alto que tenga. Lo puedes ver muy bien en el gráfico.


El 11 tiene una cúspide de 52, que es el más alto de su órbita. Compruébalo.


Escribe aquí números que produzcan u órbitas muy largas o cúspides muy altas.

Nivel 3 Reflexión

¿Qué viene detrás de cada número?

Las cuestiones que se desarrollan a continuación están pensadas para un alumnado de 13 a 18 años. Por ello la mayoría pueden resultar fáciles.

Texto

Cuando el número aumente (porque lo hayamos multiplicado por 3 y añadido 1) diremos que ha dado un paso ascendente (una subida), y cuando disminuya (por haberlo dividido entre 2) diremos que ha sido descendente (una bajada).


Reflexiona:

(Se añaden las soluciones, que evidentemente se borrarían en caso de ser usado esto con alumnos)

(a) Detrás de cada número sólo se asciende una vez (o ninguna) y después se baja. Puedes verlo en el gráfico, nunca hay dos tramos de subida distintos ¿Por qué ocurre esto? 

Solución: porque si N es impar, 3N+1 es par

(b) Hay números, como el 48, que producen muchos tramos de bajada seguidos: 48, 24, 12, 6, 3…y comienza a subir ¿Cómo puedes saber con antelación cuántas veces va a bajar?

Solución: Descomponemos el número en factores primos y leemos el exponente de 2

(c) Ciertos números, como el 15, producen una subida, una bajada y otra subida: 15, 46, 23, 70… ¿Puedes encontrarles una fórmula?

Solución: Todos los números impares son o del tipo 4N+1 o bien 4N+3.  Si es del primer tipo, su siguiente será 3(4N+1)+1=12N+4, que es múltiplo de 4 y producirá dos bajadas, luego no nos vale ese tipo. Si es del otro tipo se tendrá 3(4N+3)+1= 12N+10, que a su vez bajará a 6N+5, que por ser impar subirá a 3(6N+5)+1=18N+16.

(d) ¿Puede ser cúspide cualquier número?

Solución: Ha de ser igual a un impar multiplicado por 3 con un 1 añadido, luego será del tipo N=3(2k+1)+1=6k+4 Los números que no sigan ese modelo 6k+4 no podrán ser cúspides.

(e) ¿Qué tienen de particular estos números?: 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, … en este proceso que estamos estudiando?

Solución: Son las entradas impares a una sucesión totalmente descendente a 1. Tienen la fórmula (2ⁿ-1)/3 con n par. Y una pregunta para profesores: ¿Por qué n no puede ser impar?

Con estas cuestiones y otras que te inventes puedes experimentar con sucesiones de Collatz en clase. Que te diviertas.