Montones de piezas

Mi nieta juega con 9 piezas de construcción sobre un suelo embaldosado. Para ayudarle a organizar objetos le propongo que coloque las piezas en distintas baldosas:

- ¿En cuántas baldosas?

- En las que quieras

- ¿Cuántas piezas pongo en cada baldosa?

- Las que quieras.

La dejo con su tarea y me pongo a calcular. Me interesa saber de cuántas formas ha podido repartir las piezas en las baldosas. Cuando vuelvo me encuentro con esta situación

Ha utilizado cinco baldosas y ha repartido las piezas como 2+3+2+1+1. No me interesan las posiciones de las baldosas, ni el orden ni los colores; sólo el reparto 9=3+2+2+1+1 (ordeno de mayor a menor para indicar que no me importa el orden)

¿De cuántas formas distintas pudo mi nieta hacer ese reparto?

La solución es 30, pero la teoría en la que se basa necesitará que publiquemos alguna entrada más. En la semana pasada ha estado el tema de actualidad.

Puedes ir investigando mientras tanto.

Redondez de un número

(Esta entrada constituye nuestra colaboración en el X Carnaval de Matemáticas, organizado por el blog Francis (th)E mule Science's News)


Paul Hoffman, en su libro “El hombre que sólo amaba los números” define los números redondos como aquellos que poseen más divisores primos (iguales o distintos) que los demás de su misma magnitud. Parece ser que esta acepción de la palabra “redondo” es original de Hoffman. Hardy dio otra muy parecida.

Esta definición, tal como está en el libro, es algo ambigua y prescindiremos de ella. Usaremos mejor la de “redondez”, que se limita a contar factores primos uno a uno. Es un concepto parecido al de “superabundancia”. En la práctica la redondez es la suma de los exponentes que aparecen en su descomposición factorial.

La redondez de 320 es 7, porque 320=2⁶*5  y 6+1=7, o bien porque los divisores primos tomados de uno en uno son 2 2 2 2 2 2 5. Esta función también recibe el nombre de omega y biomega.  Aquí escribiremos R(320)=7

Es evidente que los primos tienen redondez 1, los semiprimos 2, y que todos pensamos en múltiplos de 12 que esperamos tengan bastante redondez. En efecto 480 tiene redondez 7 aunque sus vecinos próximos no pasan de 4.

Hemos diseñado para hoja de cálculo la función REDONDEZ cuyo código se incluye al final. Con ella hemos estudiado los mil primeros números, para ver cuál es su redondez media.  Se ha producido la siguiente tabla:

Redondez	Frecuencia
0	1
1	168
2	299
3	247
4	149
5	76
6	37
7	14
8	7
9	2
Total	1000

En ella aparece sólo una redondez 0 (correspondiente al número 1), 168 unitarias (los primos menores que 1000) y 299 de redondez 2, que es la de los semiprimos, que resulta la más abundante. La redondez media es de 2,88.

Hay dos números, el 512=2⁹ y el 768=2⁸*3 que tienen redondez máxima de 9. Después hay 7 con redondez igual a 8. ¿Qué números son?

Se puede estudiar la media de redondez según la última cifra de los números. Si estás pensando en que ganan los pares llevarás razón, por goleada, del orden del doble, pero si piensas en una de las cifras 2, 4 , 6, 8 y 0, igual te llevas una sorpresa. ¿Qué última cifra tiene una redondez media mayor?

Public function redondez(n)dim i,a,s


i=2:s=0:a=n
while i<=a
if esprimo(i) then
while esmultiplo(a,i)
a=a/i
s=s+1
wend
end if
i=i+1
wend
redondez=s
end function

Número par de divisores

Sabemos desde el bachillerato que si un número se descompone en factores primos de la forma

el número total de divisores de N viene dado por

Así, si 60 = 22*3*5, tendrá (2+1)(1+1)(1+1)=12 divisores. Son estos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

¿Cuándo el número D(N) será par?

Sí, lo que estás pensando: cuando algún a_i sea impar, porque en ese caso (a_i+1) será par, y su producto por todos los demás factores también lo será. Pero este hecho tiene una consecuencia inmediata: N no será cuadrado perfecto, ya que al menos uno de sus factores estará elevado a potencia impar.

Así que los números 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29… tienen en común el no ser cuadrados y el tener un número par de divisores.

Existe una fórmula para generar estos números (los representaremos como NC(n)), independientemente de su carácter de no cuadrados:

En ella los corchetes significan “parte entera”,  y al sumar ½ se convertirá en el redondeo de la raíz cuadrada.

Es sencillo implementar  esta función en las hojas de cálculo, pues la función REDONDEAR a cero decimales equivale al corchete. La siguiente tabla se ha conseguido con Excel y la fórmula N+REDONDEAR(RAIZ(N);0)

1    2    3    4    5    6    7      8      9      10    11    12    13    14   
2    3    5    6    7    8    10    11    12    13    14    15    17    18

Se puede observar que se engendran todos los números menos los cuadrados.  El salto sobre los cuadrados se produce entre los números de color azul y los de color rojo.

Esto nos da una idea para justificar la fórmula anterior.

Podemos observar que en la fila de abajo los resultados saltan de una en una unidad, salvo en los números de color, en los que saltan dos unidades. ¿A qué es debido esto?

Para comprenderlo sustituimos la tabla anterior por otra de raíces cuadradas:

1     2       3        4      5      6      7        8        9        10        11        12      13      14
1     1,41  1,73 2,00   2,24 2,45  2,65  2,83   3,00   3,16     3,32     3,46   3,61   3,74


Observamos que los saltos de 2 unidades se producen cuando la parte decimal de las raíces cuadradas pasan de ser menores de 0,5 a ser mayores o iguales. Por eso, al aplicar el redondeo de la fórmula

a dos valores consecutivos de n, se produce un salto de 1 al pasar de n a n+1, pero en los números coloreados aparece otra unidad al redondear el corchete.

En efecto, los saltos se producen entre los números del tipo n²+n (los de color azul) y los del tipo n²+n+1 (color rojo). La demostración de esto se basa en esta cadena de desigualdades:

Si p<n se tiene:

Y tomando raíces cuadradas se mantendrán las desigualdades (es función estrictamente creciente)

Esto nos demuestra que las raíces de la izquierda tienen una parte decimal menor que 0,5 y los de la derecha, mayor, lo que justifica que al redondear aparezca una unidad suplementaria entre n²+n y n²+n+1 y el salto sea de 2 en lugar de 1.

Vale, pero ¿por qué los tachados son los cuadrados perfectos y no otros?

Pues aquí se produce una concurrencia de hechos matemáticos (ya se sabe lo aficionados que somos en este blog a ellas). Por una parte sabemos que los cuadrados perfectos son suma de impares consecutivos: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 y por otra hemos averiguado que en la fórmula que estamos justificando los cuadrados aparecen entre n²+n y n²+n+1. Bastará, pues, demostrar que los saltos se producen siguiendo la pauta de los números impares. En efecto, la diferencia entre dos valores consecutivos de n²+n es:

Pero como sabemos que en ese intervalo se produce un salto doble por el redondeo, la diferencia será en realidad 2(n+1)+1= 2n+3

Así, en el intervalo entre el 2=1²+1 y 6=2²+2 s producirá un incremento igual a 2*1+3=5, lo que justifica que el 4=2² se convierta en 9=3².

Como el tema es intuitivo, lo damos por bueno prescindiendo de pequeños ajustes.

¿No te ha interesado la concurrencia? Pues lo razonamos directamente:

Aplicamos la fórmula

tanto a n²+n como a n²+n+1, recordando que la parte decimal del primero no llega a 0,5 y la del segundo se pasa y en el redondeo este segundo producirá una unidad:

Luego el número saltado es n²+2n+1, que es cuadrado perfecto, por ser igual a (n+1)².