Múltiplos decrecientes

A principios de verano leí una interesante propuesta en el blog
“Mis acertijos” de Rodolfo
http://www.misacertijos.com.ar/2010/06/mi-forma-de-dividir.html
cuya lectura recomiendo.

Lo que se afirma esencialmente en esa entrada es que si un número, por ejemplo 137821, deseamos saber si es divisible por otro, como 283, basta reiterar la siguiente operación: se multiplica el primer número salvo la última cifra por precisamente la última cifra del segundo, y después se procede al revés, el segundo salvo la última multiplicado por la última del primero. Después se restan los resultados:

13782*3–28*1 = 41318

Reiteramos esta forma de calcular, y si llegamos a cero, el primer número es divisible entre el segundo:
4131*3-28*8= 12169; 1216*3-28*9=3396; 339*3-28*6=849; 84*3-28*9=0

Según esto, el terminar en cero es señal de que son divisibles. ¿Por qué funciona esto?

No he encontrado ninguna referencia a este tema, por lo que intentaré un desarrollo propio. Ruego a mis seguidores me corrijan si cometo alguna inexactitud.

Llamaré “producto cruzado” al propuesto por Rodolfo. Si expreso ambos números A y B (los tomaré enteros positivos) en el sistema decimal y separo la última cifra, los podré expresar así:

A=10m+n y B=10p+q, 

donde n y q son las últimas cifras, con lo que el producto cruzado vendrá dado por mq-pn.

Podemos afirmar lo siguiente:

Si A es múltiplo de B, el producto cruzado mq-pn también será múltiplo de B y además menor que A y positivo. Por tanto, reiterando obtendremos una sucesión decreciente de múltiplos de B que llegarán al cero.

Si A es múltiplo de B podremos escribir A = kB siendo k un entero positivo, y plantear este sistema de ecuaciones:

Y en forma matricial

Podemos despejar10 y 1 mediante la matriz inversa, y quedará:

Lo que nos lleva a estos valores:

10=B(qk-n)/(mq-pn)  y  1=B(-pk+m)/(mq-np) 

y de esta última obtenemos lo que nos interesa:

mq-np=B(m-pk), es decir, que el producto cruzado es múltiplo de B

Nos queda ver que A es mayor que mq-np y que éste es positivo o cero.

A>=10m>mq>mq-np, luego los múltiplos son decrecientes. Además, mq-np es siempre positivo o cero ¿de qué depende esto? No es difícil de razonar. Inténtalo.

Por tanto, en algún momento llegarán al cero, ya que por la forma de calcular todos son positivos.

Espero no haber cometido ningún error u olvido. En caso contrario ruego a los lectores me avisen y publico una actualización.

Ideas para ampliar y reflexionar

(a) ¿Se mantendrá la propiedad estudiada en bases distintas de 10? Puedes efectuar pruebas con nuestra calculadora en cualquier base (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#calcubase). Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo afecta a este proceso el uso de base 100 o 1000?

(b) No todos los pares de números múltiplo-divisor llegan al valor cero con el mismo número de pasos. Dependerá de la cifras de arrastre, como hemos visto en párrafos anteriores. ¿Podrías concretar más?

(c) ¿Qué obtendríamos con el algoritmo propuesto si A no es múltiplo de B pero ambos lo son de un tercer número C?