lunes, 20 de septiembre de 2010

Cajas y bolas (1)

(Esta entrada es la aportación de este blog la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.)

Con esta cuestión iniciamos una serie de entradas (algo que nos llevará algunos meses) a la que titularemos “Cajas y bolas”, porque usaremos esta metodología para repasar conceptos de Combinatoria.

En una entrada anterior proponíamos averiguar de cuántas formas distintas se pueden colorear de negro cincuenta celdas de un tablero de 10 por 10. La solución que proponíamos era 1008913445455641933334812497256.

El problema propuesto equivale a repartir 50 bolas en 100 cajas, de forma que
  • No puede haber más de una bola por caja. 
  • Se considera que las cajas se distinguen unas de otras, pero que las bolas son indistinguibles.


En la imagen se han repartido 5 bolas en 16 cajas sin que haya ninguna caja con más de una bola. Es fácil ver que el  número total de tales repartos es el número combinatorio C16,5 ya que la operación ha consistido en extraer un subconjunto de 5 elementos en un conjunto de 16, lo que constituye la definición de combinaciones sin repetición.

En el problema que nos ocupa de colorear 50 cuadrados negros en un cuadrado de 100 la solución será  C100,50 = 100!/(50!*50!) = 1008913445455641933334812497256

Este modelo concreto de cajas y bolas (bolas indistinguibles y no más de una bola por caja) tiene otras muchas aplicaciones:

Loterías

En la Lotería Primitiva de España se extraen seis bolas de un total de 49, que es lo mismo que acomodar seis bolas indistinguibles en 49 cajas numeradas. Quizás no hayas entendido la frase anterior. Repásala. Es como si en el sorteo tuviéramos un tablero de 49 números y marcáramos con una X los premios que han salido. Por tanto, el número de posibilidades es el número combinatorio C49,6 = 13983816

Este mismo modelo concreto de cajas y bolas (más adelante veremos otros) nos servirá, pues, en todos los sorteos que se efectúen mediante extracciones y en los que no influya el orden de los resultados.


Permutaciones con repetición

El ejemplo de las 5 bolas alojadas en 16 cajas también se puede interpretar como que los símbolos VACÍA, LLENA se han permutado de todas las formas posibles, tomando 11 veces VACÍA y 5 veces LLENA, luego podemos usar números combinatorios también en este caso de permutaciones de dos elementos con repetición y número de apariciones fijado para cada uno.

En el ejemplo del tablero de 10 por 10, serían permutaciones de 50 cuadros negros y 50 blancos. Según lo que sabemos de Combinatoria, su número sería 100!/(50!*50!), que coincide con la solución propuesta del número combinatorio C100,50.

¿Qué cambiaría si las bolas fueran distinguibles?