Números aritméticos (5) - Medias armónicas

Hemos estudiado ya en entradas anteriores la media aritmética de los divisores y la cuadrática. La geométrica tiene menos interés y no la hemos tratado. Tocaría ahora el turno a la media armónica y, después, a la contraarmónica.

Media armónica

El estudio de la media armónica nos lleva, en primer lugar,  a los números de Ore, ya tratados por el autor en https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/numeros-de-ore.html

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140, porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por tanto su media armónica es

Parece muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación. Para ello basta observar que cada divisor d posee un complementario d’ tales que d.d’=N. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y se podrán sumar los cocientes con facilidad:

Este procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de divisores y dividir después entre la suma de los mismos:

Representamos el número de divisores mediante d(N) y su suma por σ(N), o bien como TAU y SIGMA respectivamente. Basta observar la fórmula para poder interpretarla de otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el número y la media aritmética de dichos divisores. Podríamos afirmar entonces que la media aritmética de los divisores es otro divisor. Por eso aparecieron números de Ore cuando estudiamos ese caso en los aritméticos.

Este cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo: Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el valor de d(N) y  σ(N). Si esta media es entera, el número N será armónico.

Incluimos un listado en Basic que lo logra:

Sub armonico
Input n
a=0 ‘Inicia el contador de divisores
b=0 ‘Inicia el sumador de divisores
 for j=2 to n/2+1
if esmultiplo(n,j)  then
a=a+1 ‘Se ha encontrado un divisor: se aumenta el contador en 1
b=b+j ‘Se aumenta el sumador con el valor del divisor
end if
next j
a=a+2 ‘Se añade 2 para contar también 1 y N
b=b+n+1 ‘Se añaden al sumador 1 y N
m=i*a/b  ‘Media armónica
if m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)
end sub

La siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:

N	D	S	M
6	4	12	2
28	6	56	3
140	12	336	5
270	16	720	6
496	10	992	5
672	24	2016	8
1638	24	4368	9

 
También se logra la sucesión de números de Ore con el Buscador de naturales:

En la primera condición reproducimos la fórmula obtenida más arriba, y en la segunda publicamos el resultado entero en la segunda columna.

Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190,…( https://oeis.org/A001599)

El listado incluye  los números perfectos 6, 28, 496, 8128,…y otros más que no lo son.

Podemos entender su presencia con los números perfectos conocidos, que siguen la fórmula 2^n–1(2ⁿ–1) con el paréntesis primo. Entonces, ese factor tendrá dos divisores, y por la propiedad multiplicativa, la función TAU del número perfecto será par. Aplicamos la fórmula que vimos anteriormente

Resulta que SIGMA(N)/N=2 en los números perfectos, con lo que la fórmula queda como d(N)/2, y al ser par el numerador, será entera, y el número será de Ore.

Estos números no han de ser aritméticos, porque la media aritmética de los divisores no ha de ser entera. Si lo es, tendremos unos números que pertenecerán a las dos clases, los aritméticos y los de Ore. Los primeros son

1, 6, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400,…( https://oeis.org/A007340)

Media contraarmónica

Podemos considerar la media contrarmónica de los divisores de un número. Ya se estudió aquí el caso particular de cuando sólo intervienen dos números en la media

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/01/media-contraarmonica-entera.html)

En su aplicación a los divisores de un número, esta media se puede calcular dividiendo la función SIGMA_2(N) entre SIGMA_1(N), es decir, la suma de los cuadrados de los divisores entre la suma de los mismos.

Este cociente no tiene por qué ser entero. Si lo es, el número N se llama antiarmónico, porque esta media también recibe el nombre de “antiarmónica”.

Si se cuenta con la familia de sigmas según el exponente al que elevamos los divisores, no es difícil encontrar el cociente y comprobar si es entero. Si no se desea usar estas funciones, y también para traducir la búsqueda a otro lenguaje de programación, proponemos esta función:

Function esantiaritmetico(n) As Boolean
Dim i, s1, s2, a

 s1 = n ‘Suma de divisores
s2 = n ^ 2 ‘Suma de cuadrados de divisores
For i = 1 To n / 2
If n / i = n \ i Then s1 = s1 + i: s2 = s2 + i ^ 2
Next i
a = s2 / s1
If a = Int(a) Then esantiaritmetico = True Else esantiaritmetico = False
End Function

Por cualquiera de estos procedimientos, se encuenran rápidamente los primeros números antiarmónicos:

En PARI el planteo es mucho más simple:

is(n)=sigma(n,2)%sigma(n,1)==0
for(i=1,10^3,if(is(i),print1(i,", ")))

1, 4, 9, 16, 20, 25, 36, 49, 50, 64, 81, 100, 117, 121, 144, 169, 180, 196, 200, 225, 242, 256, 289, 324, 325, 361, 400, 441, 450, 468, 484, 500, 529, 576, 578, 605, 625, 650, 676, 729, 784, 800, 841, 900, 961, 968, 980,

Llama la atención el hecho de que están presentes todos los cuadrados. Profundizamos algo más con la ayuda de las fórmulas de las sigmas.

En este caso deberemos dividir la sigma de segundo orden entre la de primero. Nos quedaría:

Simplificando:

Por ejemplo, la media contraarmónica de 200 aparece en la tabla como 119. Lo podemos comprobar con esta fórmula:

M(200)=M(2³*5²)=(2⁴+1)/(2+1)(5³+1)/(5+1)=17/3*126/6

M(200)=17*126/18=119

Es elemental el hecho de que la suma de potencias impares es divisible entre la suma de las bases, luego la media será entera si los exponentes e_i son pares, lo que demuestra que todos los cuadrados han de figurar en el listado.

Una consecuencia de esto es la de que si un número pertenece a ella y los multiplicamos por un cuadrado primo con él, por la propiedad multiplicativa, el resultado pertenecerá a la sucesión (Charles R Greathouse IV, Aug 02 2013)

Por ejemplo, 20 pertenece a la sucesión y lo podemos multiplicar por 7². Quedaría:

M(20*7²)=M(2²*5*7²)=(2³+1)/(2+1)*(5²+1)/(5+1)*(7³+1)/(7+1)=9/3*26/6*344/8=559, luego el producto es antiarmónico.

Esta propiedad garantiza la infinitud de los números antiarmónicos.

Si en estos productos eliminamos los cuadrados, nos quedarán los llamados antiarmónicos primitivos, que están publicados en https://oeis.org/A228023

1, 20, 50, 117, 200, 242, 325, 500, 578, 605, 650, 800, 968, 1025, 1058, 1280, 1445, 1476, 1682, 1700, 2312, 2340, 2600, 2645, 3200, 3362, 3757, 3872, 4205, 4232,…

Todos los ejemplos encontrados poseen una parte cuadrada mayor que 1, salvo el caso del mismo 1. Hemos buscado hasta 10^7 términos libres de cuadrados, sin encontrar ninguno, salvo el 1. Queda como conjetura el hecho de que no se encontrará ninguno.