Sumas con anagramáticos

En esta entrada jugaremos un poco con números que comparten cifras y están relacionados mediante algunas operaciones entre ellos.

Sumandos anagramáticos

Comenzamos con aquellos números que son el total de una suma de dos números anagramáticos con ellos, es decir, los tres datos han de compartir cifras y con la misma frecuencia. Aunque están publicados casos similares, aquí exigiremos que los dos sumandos anagramáticos tengan el mismo número de cifras, como en

954=459+495

5238=2385+2853

No tendremos en cuenta ningún sumando que comience por cero.

Para encontrarlos diseñaremos una función de VBasic para Excel y Calc. En ella se usará la función cifras_identicas, cuyo código puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/consecutivos-con-las-mismas-cifras.html

También usamos nuestra función numcifras

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/cancelaciones-anomalas-12.html)

Function dobleanagram$(n)

Dim a, m

Dim s$

s$ = "" ‘Contenedor de sumandos

m = numcifras(n) ‘Cuenta las cifras

For a = 10 ^ (m - 1) To n / 2 ‘Busca con el mismo número de cifras

If cifras_identicas(a, n) And cifras_identicas(n - a, n) Then s = s + " # " + Str$(a) + "+" + Str$(n - a) ‘Solución

Next a

dobleanagram = s

End Function

 Con esta función obtenemos los primeros resultados:

Llama la atención, y era algo esperable, que las soluciones se pueden agrupar en familias, como 954, 9045, 9504, 9540, 9954…Es fácil ver que con un simple cambio se reproducen resultados conocidos. El arrastre de cifras en las sumas influirá en que aparezcan más o menos familias.

Todos los resultados de este problema han de ser múltiplos de 9. En efecto, si los dos sumandos poseen las mismas cifras, serán también iguales sus restos módulo 9, con lo que el total tendría como resto su suma, y al tener las mismas cifras, la única posibilidad es que esos restos sean los tres nulos.

Un resultado similar está publicado en https://oeis.org/A121969, pero ahí se admiten números que comiencen por cero. Basta cambiar una línea en la función para obtener estos resultados, pero no merece la pena.

Anagramático más sus cifras

Otro caso relevante es el de un número igual a un anagramático con él sumado con sus cifras. Tiene un cierto parecido con el caso anterior, porque, en realidad, se usan las mismas cifras, pero aquí están como sumandos separados. Es la situación opuesta a la de los autonúmeros, que no admiten ninguna descomposición de este tipo

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html)

Existe una forma muy sencilla de resolver este caso, y es restarle al número sus propias cifras, y ver si la diferencia es anagramática con el total. Para las búsquedas necesitaremos otra función nuestra, sumacifras(n,k), que suma las cifras de n elevadas previamente al exponente k. Esta función la puedes encontrar en el enlace del párrafo anterior.

Para este caso y los siguientes usaremos esta otra función:

Function autoanagram$(n, k)

Dim a, m

Dim s$

s = ""

m = numcifras(n)

a = n - sumacifras(n, k) ‘Al número le restamos potencias de sus cifras

If cifras_identicas(n, a) Then s = s + " # " + Str$(a) ‘Otra nueva solución

autoanagram = s

End Function

Si la usamos con el parámetro k igual a 1, obtendremos las primeras soluciones:

 Puedes comprobar cualquiera de la lista:

810=801+8+0+1

1953=1935+1+9+3+5

Aquí también, y por la misma razón, los dos números implicados han de ser múltiplos de 9.

Estos números sí están publicados, con el mismo planteamiento nuestro, en https://oeis.org/A248209

En la página enlazada puedes estudiar los códigos PARI que contiene. El segundo es similar al usado aquí. No hemos acudido a este lenguaje porque la hoja de cálculo suele ser rápida en estos casos. Tampoco hemos exigido que las soluciones sean múltiplos de 9 por la misma razón. No suelen ser búsquedas muy lentas.

Otros casos con potencias

Como sumacifras(n;k) admite potencias, es sencillo ampliar la búsqueda a los casos en los que las cifras estén elevadas al cuadrado, cubo o cualquier otra potencia.

Cifras al cuadrado

Si tomamos k=2 en sumacifras dentro de la función autoanagram, resultarán parejas de anagramáticos que se diferencien en la suma de los cuadrados de sus cifras.

Aquí los sumandos no tienen las mismas cifras, por lo que las soluciones no han de ser múltiplos de 9, pero sí lo tiene que ser la suma de los cuadrados de las cifras, para conseguir un par de anagramáticos. Ejemplos:

271=217+2²+1²+7², donde la suma de cuadrados es 54, múltiplo de 9.

2450=2405+2²+4²+0²+5², con suma de cuadrados igual a 45.

 

Cifras al cubo

Para k=3 resultan:

Por ejemplo:

1533=1353+1³+3³+5³+3³=1353+1+27+125+27=1353+180

 

Otras potencias

K=4

3211=3112+3⁴+1⁴+1⁴+2⁴=3112+99

K=5

14310=13041+1⁵+3⁵+0⁵+4⁵+1⁵=13041+1+243+0+1024+1=13041+1269

Dejamos aquí las potencias de cifras.

 

Anagramáticos con producto de cifras

Podemos plantearnos pares de anagramáticos que se diferencien en el producto de sus cifras. Usaremos nuestra función producifras, que es similar a sumacifras (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html). En este enlace puedes leer unos resultados más exigentes que los propuestos aquí, pues no basta con que los pares sean anagramáticos, sino que han de ser también simétricos. En las búsquedas hay que eliminar los números en los que el producto de las cifras sea cero, pues aparecerían muchos casos triviales. En nuestro caso obtenemos estos pares:

Por ejemplo, 1631=1613+1*6*1*3=1613+18

Aquí también el producto de cifras ha de ser múltiplo de 9, porque el par de anagramáticos comparte el mismo resto módulo 9. Significa que una cifra ha de ser 9, o bien, que figuren 3 o el 6 repetidos o estar presentes ambos. Recorriendo la tabla se comprueba.