Tríos de cuadrados y de cubos

Releyendo el libro “Las Matemáticas de OZ” de Clifford A. Pickover he encontrado este acertijo: “Encontrar tres números diferentes cuya suma de cubos sea un cuadrado y la de sus cuadrados sea un cubo”. He visto que es una buena razón para practicar algoritmos.

Los tres números iguales

Sin la exigencia de que sean diferentes obtendríamos rápidamente el trío (3, 3, 3), pues 3²+3²+3²=27=9³ y 3³+3³+3³=81=9².

También es válido (192,192,192): 192²+192²+192²=48³ y 192³+192³+192³=4608²

En este caso de que los tres sean iguales se resuelve fácilmente por descomposición en factores primos, pues ambas sumas se reducen a 3n³=p², 3n²=q³. Debemos buscar un número tal que si e₃ es el exponente de 3 en el mismo, se cumpla que 1+3e₃ sea múltiplo de 2 y que 1+2e₃ lo sea de 3. Claramente es válido en el 3, lo que daría la primera solución. También se cumple en todos aquellos números en los que el exponente de 3 es 1, como 192=3*2⁶. En el resto de casos, el que 1+3e₃ sea múltiplo de 2 nos obliga a que e₃ sea impar, y el que 1+2e₃ sea múltiplo de 3 a que e₃ tenga la forma 3k+1 (es fácil razonarlo). Así que los exponentes válidos para el 3 serán 1, 7,13,19,…tipo 6k+1.

En el resto de factores primos del número no se ven afectados sus exponentes por el factor 3, luego deberán ser tales que al multiplicarlos por 3, para formar los cubos, el resultado sea par, luego serán múltiplos de 2. Igualmente, al multiplicarlos por 2, el resultado ha de ser un cubo, luego sus exponentes serán múltiplos de 3. Los únicos exponentes que cumplen esto son los múltiplos de 6, luego ya lo tenemos resuelto:

Si los tres números son iguales, el exponente de 3 ha de ser del tipo 6k+1 y los del resto de factores primos, del tipo 6k.

Hemos realizado un búsqueda con Excel, y las primeras soluciones son

Se observa que los exponentes (segundo número de cada corchete) cumplen lo establecido.

Esto nos permite encontrar más soluciones y comprobar que existen infinitas.

Los tres números diferentes

En este caso nos vemos obligados a usar algún algoritmo. No es difícil, pero sí lento. Para cada N recorremos todos los pares de números menores que N, diferentes de N y entre sí. Les aplicamos la condición de Pickover e imprimimos si es válida. Desgraciadamente, es un proceso lento, pero se consiguen resultados.

Usamos una función dependiente de N:

Function tresnumeros$(n) ’ Es tipo texto para un conjunto

Dim i, j

Dim s$

 

s = ""

For i = 2 To n – 1 ‘Primer número, que no llega a n

For j = 1 To i – 1’ Segundo número, inferior al primero

‘Aplicamos el criterio

If escuad(i ^ 3 + j ^ 3 + n ^ 3) And escubo(i ^ 2 + j ^ 2 + n ^ 2) Then s = s + " # " + Str$(n) + " " + Str$(i) + " " + Str$(j) ‘Solución

Next j

Next i

tresnumeros = s

End Function

Si no es solución, devuelve la cadena vacía “” y si lo es, un texto con los tres números.

Al ser un algoritmo con dos bucles, se tarda mucho en encontrar soluciones. Las primeras son:

A partir de la siguiente, la hoja de cálculo deja de ser fiable para números enteros.

Podemos probar una versión para PARI:

is(n)={my(i=1,j=1,m=0,v=[0,0,0]);for(i=1,n-1,m=0;for(j=1,i-1,if(ispower(i^2+j^2+n^2,3)&&issquare(i^3+j^3+n^3),m=1;v[1]=n;v[2]=i;v[3]=j;print(v))));m}

for(i=1,10000,if(is(i),print(i)))

Es más complicada de seguir, pero nos da alguna solución más en un tiempo de proceso razonable:

252, 234, 198

464, 304, 256

2060, 1854, 1030

4046, 2600, 1122

4394, 4056, 1690

Comprobamos la última solución:

4394²+4056²+1690²=338³

4394³+4056³+1690³= 395460²

Sin restricción de ser diferentes

En ese caso, las variables i, j del algoritmo las dejaremos recorrer todo el rango entre 1 y N. Así se obtendrán todas las soluciones posibles, en la siguiente tabla, hasta un tope de 5000:

3, 3, 3

192, 192, 192

252, 234, 198

464, 304, 256

2060, 1854, 1030

2187, 2187, 2187

4046, 2600, 1122

He probado a comparar otras potencias con un exponente mayor, pero resultan cálculos muy lentos y sin resultado interesante. Sin embargo, al introducir la potencia de exponente 1, las soluciones se han multiplicado. Por ejemplo, este listado corresponde al caso de que los cubos y también la suma con exponente 1 sumen ambas un cuadrado:

6, 2, 1

14, 9, 2

15, 13, 8

16, 14, 6

19, 9, 8

20, 10, 6

20, 17, 12

24, 8, 4

27, 19, 3

28, 22, 14

29, 15, 5

29, 19, 16

35, 25, 4

36, 17, 11

Y siguen muchos más con frecuencia similar. Un ejemplo:

27+19+3=49=7²

27³+19³+3³=163²

Con ligeros retoques en los códigos se pueden abordar otros casos similares, pero contando con un equipo que no sea muy lento en los cálculos.