Números con divisores consecutivos

 Todos los números pares poseen al menos un par de divisores consecutivos, el (1, 2). Los múltiplos de 6 poseen también el (2, 3). Los factoriales poseen muchos, debido a su definición. Por ejemplo, 5!=120 posee los pares (1,2) (2,3) (3,4), (4,5) y (5,6). En el extremo opuesto están los impares, y entre ellos los primos mayores que 2, en los que no existe ningún par de divisores consecutivos, como es claro.

Otros números poseen pares inesperados. Por ejemplo 936 posee el par (12, 13), que no se esperaría sin conocer su descomposición factorial. Es elemental construir un número con los pares de consecutivos que nosotros deseemos, por ejemplo 5*6*17*18. Basta multiplicar según sea nuestro objetivo.

No es difícil, ante un número propuesto cualquiera, como el 17432, averiguar si posee divisores consecutivos. En primer lugar, solo trabajaríamos con números pares, pues los impares no presentan esta situación, ya que n(n+1) es siempre par.

Otra forma de presentar el problema es la búsqueda de divisores oblongos, ya que al tener la descomposición N(N+1) nos garantizan la existencia de un par de divisores consecutivos.

Con toda esta introducción y alguna búsqueda previa, queda claro que los casos de uno o de dos pares no tienen mucho interés, ya que cada tres números pares consecutivos aparecerá un múltiplo de 6.

Búsqueda del número de pares

La experiencia de años nos indica que en las búsquedas es conveniente comenzar con ideas muy simples, para después complicar si se ve necesario.

En este caso el esquema de búsqueda sería:

·       Llamamos N al número y M al número de pares encontrado.

·       Averiguamos si es par. Si no lo es le asignamos una salida M=0

·       Si es par, recorremos los números menores que él desde el 1 hasta N/2-1, que sería el mayor divisor a considerar (pues N/2 siempre sería divisor). Iniciamos M=0. Añadimos un caso especial para N=2.

·       Por cada par que aparezca, incrementamos M en una unidad, y al final esa sería la salida del algoritmo.

En Excel se podría definir esta función:

Public Function paresdivcons(n)

Dim m, d

If n / 2 <> n \ 2 Then paresdivcons = 0: Exit Function 'No es par

If n = 2 Then paresdivcons = 1:exit function ‘Caso del 2

m = 0 'Contador de pares

For d = 1 To n / 2 - 1

If n / d = n \ d And n / (d + 1) = n \ (d + 1) Then m = m + 1 'Hay un par

Next d

paresdivcons = m

End Function

Hemos usado el criterio n/d=n\d, que es sencillo, para averiguar si n es múltiplo de d (se iguala la división con decimales con la división entera). Podíamos haber usado también n mod d =0.

Así el número que se eligió como ejemplo más arriba, el 17432, tendría un solo par de divisores consecutivos, porque paresdivcons(17432)=1. Será entonces, necesariamente, el par (1,2), como puedes comprobar en el listado de divisores:

17432 8716 4358 2179 8 4 2 1

Casos particulares

Vimos más arriba que los números impares no pueden tener pares de divisores consecutivos. En ellos M=0

Los semiprimos pares, salvo el 6, presentarán un solo par, el (1,2) porque si N=2P con P primo, sus únicos divisores serían 1, 2, P y 2P, por lo que solo contaríamos con dos pares si P=3.

Estos dos casos, junto al de los factoriales, nos da la idea de establecer una medida de la abundancia de pares de consecutivos que posee un número. Para mejor comparar unos  con otros, podíamos medir esta cuestión con el cociente M/D, siendo D el número total de divisores. Así, M/D siempre estaría entre 0 y 1, lo que facilitaría las gráficas y las comparaciones. Le vamos a llamar ADP (abundancia de pares).

El conteo de los divisores de un número está muy estudiado. Es la función TAU o DIVISOR, que puedes consultar en nuestra publicación “Funciones multiplicativas”,

 http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf

En esta tabla puedes observar los valores de ADP en los primeros números pares:

La primera columna contiene el valor del número N, y después le siguen M, número de pares, TAU, como contador de divisores, y a continuación su cociente, APD, que hemos tomado como medida estándar. Las dos últimas columnas contienen respectivamente, los factores primos y la lista de divisores, para comprobar. El segundo número que figura entre corchetes en la columna de factores es su exponente. Por ejemplo, para 12 es [2,2][3,1].

En este listado comprobamos que los que menos abundancia tienen son los semiprimos mayores que 6, con APD=0,25, y unos que habíamos olvidado, como son las potencias de 2. Observamos que 8, 16 y 32 solo preesentan el par (1,2).

Si construimos una gráfica, deberemos esperar algún tipo de periodicidad:

 

Se observan máximos relativos en 2, 6 y 12  y mínimos en 70 y 88 y periodos parciales de 6 unidades.

 

Caso general

Con lo que hemos observado hasta ahora podemos resumir la situación para números en general:

Todo número N se puede descomponer de la forma N=2^k*p₁*p₂*p₃…, donde p₁, p₂ p₃, son primos impares , repetidos o no.

Si N=2^k, sin primos acompañantes, ya sabemos que solo puede presentar el par (1,2)

Por el contrario, si N=p₁*p₂*p₃…todos los divisores son impares, y es imposible que contengan ningún par de divisores consecutivos.

Por último, si N contiene potencias de 2 y también algún primo, deberemos distinguir

Si la potencia de 2 tiene exponente 1, y solo existe un primo mayor que 3, por ejemplo en 2*7=14, como semiprimo de este tipo presentará el par (1,2).

Si la potencia de 2 es mayor, pueden surgir pares por pura coincidencia, como en N=2³*7=56, en el que aparece el par (7,8).

Si existe abundancia de factores primos, es de esperar que surjan más pares, pero esta es una idea empírica. Sobre ella construiremos algunas frecuencias sin valor probatorio.

 

Frecuencias

Para tener un término de comparación, recorreremos todos los números pares desde 2 hasta 20000 para encontrar las frecuencias según el número de divisores. Para quienes sientan curiosidad, hemos usado esta función de Excel:

Function histodivcons$(n)

Dim i, a

Dim f(9)

Dim s$

For i = 0 To 9: f(i) = 0: Next i

For i = 1 To n

a = paresdivcons(i * 2)

If a < 9 Then f(a) = f(a) + 1 Else f(9) = f(9) + 1

Next i

s = ""

For i = 1 To 9: s = s + Str$(f(i)) + ", ": Next i

histodivcons = s

End Function

 

En este caso, con números sin filtrar, resultan esta tabla y este diagrama de columnas:

Ahora podríamos exigir que su número de divisores (función TAU) sobrepasara el número 16 (o igual a 16), que es el que presentan los números con cuatro divisores sin repetir. Resultaría entonces algo muy distinto:

Por último, si exigimos que TAU sobrepase el valor 31, queda:

 

Queda así comprobada de forma empírica la influencia del número de divisores en el de pares de consecutivos. Esto refleja la componente de azar que presentan estos.