En mis cálculos sobre fechas publicados en Twitter
(@connumeros), a los que hacemos referencia frecuentemente en este blog, acudo
casi a diario a la descomposición de un número de fecha en suma de cinco cubos
o menos. El elegir el cinco se debe a limitaciones de nuestro equipo y de cualquier
hoja de cálculo, que necesitan gran tiempo de cómputo para más sumandos, y al
mismo atractivo de la descomposición, que queda bastante legible con pocos
sumandos, pero que se complica de seis en adelante. Es, pues, una elección
práctica con vistas a una publicación divulgativa.
Por ejemplo, la fecha 8/2/19 da lugar al número 8219, que se
puede expresar con tres cubos:
8219=33+163+163
Al día siguiente ya se necesitan cuatro:
9219=93+133+133+163 o bien 9219=33+103+163+163
Sin embargo, el día 10/2/19 necesita cinco, y el día 11 no
se puede descomponer así. El número 11219 necesita más de cinco cubos.
Teorema de Waring
Esta cuestión que planteamos aquí es un caso particular del
Teorema de Waring. Puedes leer sobre este teorema en
y
Según Waring, y en el caso que nos ocupa, el número mínimo
para que todos los números puedan ser engendrados por una suma de cubos es 9,
pero él lo conjeturó nada más. En las páginas enlazadas puedes ver que este
número de potencias se expresa como g(n), con lo que la afirmación anterior se
puede expresar como g(3)=9. En 1909, Wieferich lo demostró. Aquí solo nos
interesará el caso de cinco cubos o menos.
Los cinco cubos
Nos planteamos pues, con qué frecuencia van apareciendo
números en la serie natural que no se puedan expresar como suma de no más de
cinco cubos. Para ello estudiaremos los casos en los que el número de cubos es
1, 2, 3, 4 o 5, y los números buscados serán el complemento de la unión de
estos. El proceder así es debido a que los casos positivos (que sí admiten suma
de cinco cubos o menos) tienen interés por ellos mismos, y que ya han sido
publicados. Los iremos presentando según el número de sumandos.
En todo el estudio usaremos a función POTE5(N;Z), en la que
Z es el exponente, aunque en esta entrada solo usaremos el valor 3. Esta
función devuelve “NO” si el número no admite suma de cinco cubos o menos, o
bien, en caso afirmativo, una cadena de texto que comience presentando el
número mínimo de sumandos, seguido de las diversas soluciones si el resultado
es afirmativo.
Por ejemplo, para 10219 devuelve:
POTE5(10219;3)= EC 5
&&& & 1 , 12
, 13 ,
13 , 16 & 3 , 10
, 10 ,
16 , 16 & 9 , 10
, 13 ,
13 , 16
Los dos primeros caracteres los ignoramos por ahora, ya que
serán usados por otras funciones. El primer 5 indica que el número mínimo de
cubos es 5 y, a continuación se incorporan las tres soluciones del problema:
10219=13+123+133+133+163
10219=33+103+103+163+163
10219=93+103+133+133+163
Si aplicamos la función a 11219 nos devolverá
“NO”.
El algoritmo es algo complejo, porque se usan
cinco bucles, y, para capturar bien las soluciones, no se han simplificado
mucho. En el ANEXO del final del tema tienes la codificación en Visual Basic de
Excel.
Vemos los casos particulares:
Un cubo
Es el problema trivial. Los números serán los
cubos perfectos, 1, 8, 27, 64,…Los tienes publicados en http://oeis.org/A000578 y no hay más que
decir.
Dos cubos
Si establecemos una búsqueda con nuestra función
POTE5, obtendremos el siguiente listado:
Ignora los dos caracteres en mayúscula (El primero
es el número de cubos, que aquí siempre será B, y el segundo el número de
soluciones, que ves es A para una solución y B para dos)
Junto a cada solución se presentan las bases de la
suma. Por ejemplo, 91=33+43. Observa que algunos también presentan soluciones
más complejas con cuatro o cinco cubos.
Si recordáis la anécdota de la matrícula del taxi
de Ramanujan (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Hardy-Ramanujan),
sabréis que el primer número que presenta dos soluciones es 1729.
POTE5(1729;3)=”BD
2 &&& & 1 , 3
, 3 ,
7 , 11 & 1 , 6
, 8 ,
10 & 1 , 12 &
9 , 10”
Nuestra función afirma que el mínimo de cubos es 2
y devuelve cuatro soluciones, de las que las dos últimas se corresponden con la
afirmación de Ramanujan:
1729=13+123=93+103
Los
primeros números con esta propiedad están publicados en http://oeis.org/A003325 y vemos que coinciden con nuestra tabla.
A003325 Numbers that are the
sum of 2 positive cubes.
2, 9, 16,
28, 35, 54, 65, 72, 91, 126, 128, 133, 152, 189, 217, 224, 243, 250, 280, 341,
344, 351, 370, 407, 432, 468, 513, 520, 539, 559, 576, 637, 686, 728, 730, 737,
756, 793, 854, 855, 945, 1001, 1008, 1024, 1027, 1064, 1072, 1125, 1216, 1241,
1332, 1339,
Se puede destacar en esta publicación el
comentario de Zak Seidov, en el sentido de que si n pertenece a la sucesión, también pertenecerán los múltiplos de n
del tipo n*m3 (m >= 2).
Esto garantiza que la sucesión es infinita.
Tres cubos
Procedemos de la misma forma que en el caso de dos
cubos:
Algunos números presentan dos soluciones, en las
que solo una está formada por tres cubos. Hay que seguir hasta el 251, que sí
presenta dos soluciones de ese tipo:
251 = 13+53+53 =
23+33+63
Esta sucesión está publicada en http://oeis.org/A003072
A003072 Numbers that are the
sum of 3 positive cubes.
3, 10, 17,
24, 29, 36, 43, 55, 62, 66, 73, 80, 81, 92, 99, 118, 127, 129, 134, 136, 141,
153, 155, 160, 179, 190, 192, 197, 216, 218, 225, 232, 244, 251, 253, 258, 270,
277, 281, 288, 307, 314, 342, 344, 345, 349, 352, 359, 368, 371, 375, 378, 397,
405, 408, 415, 433, 434
También en esta se puede afirmar que todo elemento
multiplicado por un cubo sigue perteneciendo, y que por tanto la sucesión es
infinita.
Cuatro cubos
Abreviamos. Este es el listado obtenido mediante
nuestra función POTE5:
Aquí también aparecen soluciones dobles en 82 y
89.
Están publicados en http://oeis.org/A003327
En este caso se ha conjeturado que todo número
mayor que 7373170279850 pertenece a la sucesión. Puedes consultar
Cinco cubos
Llegamos al número de cubos que nos interesa. También es fácil encontrar
los números que admiten una descomposición en cinco cubos:
Observamos que son frecuentes. El primero en presentar dos soluciones es
157, pues
157 = 13+13+33+43+43
= 23+23+23+23+53
Números que no admiten descomposición en suma de cubos
Estos son los números que más nos interesan,
aquellos que no admiten ninguna forma de descomposición en suma de cubos desde
1 hasta 5. Alguno de ellos necesitará hasta 9 cubos, según el teorema de Waring.
Para encontrarlos basta imponer la condición de
que POTE5(N;3)=”NO”.
Los primeros son estos:
6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 34, 39, 41, 42,
46, 47, 48, 49, 50, 53, 58, 60, 61, 69, 76, 77, 79, 84, 85, 86, 87, 95, 98
Se puede conjeturar que esta sucesión es finita.
Este listado presenta los menores de 100, y son
32. Es de esperar que en otro rango de 100 aparezcan menos. Por ejemplo, de
1000 a 1100 son
1013, 1019, 1020, 1021, 1022, 1023, 1039, 1049,
1050, 1058, 1068, 1076, 1084, 1085, 1095.
Son solo 15.
Desde 10000 a 10100 aparecen siete: 10003, 10004,
10013, 10039, 10049, 10066, 10094.
Así podríamos seguir. Se puede conjeturar que
terminarán desapareciendo en rangos mayores.
Estadísticas con los rangos de fechas
Las fechas que uso en Twitter pertenecen al rango
aproximado de (1100,320000). Con una hoja de cálculo y la complejidad de la
función POTE5 es desaconsejable estudiar completo este intervalo. Por eso,
usaremos distintas estrategias para estudiarlo.
A) Frecuencia de los números que no admiten ser
expresados como suma de cubos del 1 al 5:
Recorreremos varios intervalos de longitud 10000
hasta ver que los resultados llegan a un cierto estancamiento. Al llegar a
50000 ya se ve que los porcentajes no llegan al 5%
Hay que dejar claro que estos casos sí pueden
pertenecer a números que necesiten seis o más cubos. Estamos tratando de los
que no admiten cinco cubos o menos. Se percibe con claridad la disminución de
los porcentajes, por lo que podemos confiar en que gran número de fechas de
cada año admitan “los cinco cubos”, o menos. Con esta herramienta que hemos
creado se detectan con más facilidad, por lo que incrementarán estos
desarrollos en nuestros cálculos diarios en Twitter (@connumeros).
B) Tabla de doble entrada con resultados para 2,
3, 4 y 5 cubos
Hemos dividido, de forma aproximada, los rangos de
fechas en distintos intervalos. En cada uno de ellos se han estudiado 51
números consecutivos, para tener una idea de cómo se pueden distribuir en la
totalidad, dato que está fuera del alcance de nuestra hoja de cálculo.
Se ha llegado a esta tabla de doble entrada:
Los totales no valen siempre 51 porque faltan
casos. Sólo hemos reflejado los de 2 a 5. La sorpresa en ellos, aunque no hay
que darlo por cierto, es que parece haber más números con un mínimo de cuatro
cubos que los que necesitan cinco. En los casos 2 y 3 es normal que presenten
frecuencias bajas.
C) Recorrido aleatorio
Con la función RND (equivalente a ALEATORIO) hemos
creado una columna de 200 números al azar dentro del rango de fechas. Los
resultados confirman lo descubierto en el anterior procedimiento, y es que el
caso más frecuente es el de cuatro cubos, seguido del de 3, siendo los otros
casos mucho menos frecuentes. Como en las tablas anteriores, el 0 se interpreta como que el número necesita
seis o más cubos. Estos han sido los resultados:
Como conclusión, a partir de ahora no hay que
extrañarse de la frecuencia con la que una fecha del año permita una suma de
tres a cinco cubos.
ANEXO
Código de la función POTE5
Public Function pote5$(n, z)
Dim i, j, k, p, q
Dim a, b, c, d, e
Dim f, g, h, m, mini, nume
Dim s$
a = n ^ (1 / z) + 0.1
s$ = ""
mini = 5: nume = 0
For i = 1 To a 'primera
If n = i ^ z Then
s$ = s$ + " & " + Str$(i)
If mini > 1 Then mini = 1
nume = nume + 1
End If
f = n - i ^ z
If f > 0 Then
b = f ^ (1 / z) + 0.1
For j = i To b 'segundo
If n = i ^ z + j ^ z Then
s$ = s$ + " & " + Str$(i) +
" , " + Str$(j)
If mini > 2 Then mini = 2
nume = nume + 1
End If
g = n - i ^ z - j ^ z
If g > 0 Then 'tercero
c = g ^ (1 / z) + 0.1
For k = j To c 'tercero
If n = i ^ z + j ^ z + k ^ z Then
s$ = s$ + " & " + Str$(i) +
" , " + Str$(j) + " , " + Str$(k)
If mini > 3 Then mini = 3
nume = nume + 1
End If
h = n - i ^ z - j ^ z - k ^ z
If h > 0 Then 'cuarto
d = h ^ (1 / z) + 0.1
For p = k To d 'cuarto
If n = i ^ z + j ^ z + k ^ z + p ^ z Then
s$ = s$ + " & " + Str$(i) +
" , " + Str$(j) + " , " + Str$(k) + " , " +
Str$(p)
If mini > 4 Then mini = 4
nume = nume + 1
End If
m = n - i ^ z - j ^ z - k ^ z - p ^ z
If m > 0 Then 'quinto
e = m ^ (1 / z) + 0.1
For q = p To e 'quinto
If n = i ^ z + j ^ z + k ^ z + p ^ z + q ^ z
Then
s$ = s$ + " & " + Str$(i) +
" , " + Str$(j) + " , " + Str$(k) + " , " +
Str$(p) + " , " + Str$(q)
nume = nume + 1
End If
Next q 'quinto
End If 'quinto
Next p 'cuarto
End If 'cuarto
Next k 'tercero
End If 'tercero
Next j ' segundo
End If 'segundo
Next i 'primer cubo
If s$ = "" Then s$ =
"NO" Else s$ = Chr$(64 + mini) + Chr$(64 + nume) + " " +
Str$(mini) + " &&& " + s$
pote5$ = s$
End Function
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