Llegamos a la cuarta entrega de la serie que venimos publicando sobre la suma de los cuadrados de las cifras de un número. Se inserta a continuación la dirección de la primera, y a partir de ella puedes ir leyendo las siguientes, que no son consecutivas, pues tienen intercalados otros temas:
Números consecutivos con suma de cuadrados de cifras cuadrada en ambos
En el tema de la suma de cuadrados de las cifras. una cuestión curiosa es el descubrimiento de dos números consecutivos en los que ambos presenten sumas de cuadrados de cifras que también son cuadradas. Por ejemplo, 137209 y 137210 lo cumplen:
1^2+3^2+7^2+2^2+0^2+9^2=144=12^2
1^2+3^2+7^2+2^2+1^2+0^2=64=8^2
Usando la función SUMACIFRAS (ver entradas
anteriores de esta serie) es fácil detectar estos pares de consecutivos, recorriendo
todos y aplicando la suma de cuadrados de cifras a sus consecutivos. Así
obtenemos la sucesión siguiente, formada por los elementos menores de cada par:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9999, 22449, 24249,
42249, 48889, 84889, 88489, 115609, 116509, 123709, 127309, 132709, 137209,
151609, 156109, 161509, 165109, 172309, 173209, 202449, 204249, 213709, 217309,
220449, 224049, 231709, 235509, 237109, 240249, 242049, 253509, 255309, 271309,
273109, 312709, 317209, 321709, 325509, 327109, 333609, 336309, 352509, 355209,
361999, 363309, 369969, 371209, 372109, 396969, 399669, 402249, 408889, …
Entre ellos están los de una cifra, que cumplen la
condición trivialmente, y todos los demás terminan en 9.
Se puede razonar esa terminación en 9 para números
de más de una cifra. La clave está en que la diferencia entre dos cuadrados es
mayor o igual que 2N+1 si N es el menor del par. Si las unidades tuvieran otro
valor, por ejemplo el 6, al incrementar esa cifra al 7 la diferencia de
cuadrados sería de 2*6+1=13. La máxima diferencia entre los cuadrados de dos
cifras consecutivas es de 2*9+1=19, pero eso no convertiría la suma total
cuadrada en otra cuadrada mayor, pues al sumar los cuadrados de las cifras
restantes se formaría un cuadrado mayor que el de la última cifra, que
presentaría una diferencia mayor que la de la misma.
Ejemplos:
148 y 149 forman las sumas de cuadrados
1+16+64=81, 1+16+81=98. La diferencia es la prevista, 2*8+1=17, pero hemos
elegido la primera para que forme el cuadrado 81, y su siguiente es 100, con
una diferencia superior a 17.
Tomemos otro ejemplo, 488. La suma de cuadrados de
cifras es 4^2+8^2+8^2=144. Si incrementamos el 8 al 9, la suma sería ahora de
4^2+8^2+9^2=161, con un incremento de 2*8+1=17, pero para pasar de 144 al
siguiente cuadrado necesitamos 2*12+1=25, y nos faltan unidades.
Por tanto, la única cifra posible es 9, porque con
ella se disminuye el cuadrado en lugar de aumentar, lo que no es posible, según
hemos razonado.
Todos los
elementos menores de estos pares terminarán en 9 si poseen varias cifras.
Si pasamos de un número terminado en 9 al
siguiente, que lo hace en 0, se pierden 81 unidades en la suma de cuadrados de
cifras (excluimos de este razonamiento el 9999, que es un caso especial). Esta
pérdida se compensará con la ganancia que se produzca en las decenas. Sabemos
que equivale a 2*k+1, luego la ganancia puede ser de 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,
17 o 19, (según sean las decenas 0, 1, 2, 3,…,9), con lo que la pérdida
equivaldrá a 80, 78, 76, 74, 72, 70,… Habría que investigar qué cuadrados
presentan esa diferencia (no necesariamente consecutivos).
Se sabe que una diferencia de cuadrados, si es
par, ha de ser múltiplo de 4, luego las
únicas diferencias válidas serían 80, 76, 72, 68 o 64, que se corresponden con
las decenas 0, 2, 4, 6 y 8. Estas diferencias producen las siguientes
diferencias de cuadrados (lo hemos calculado con una función adecuada):
Terminado
en 09
La diferencia es 80 que equivale a tres
diferencias de cuadrados, 9^2-1^2, 12^2-8^2 y 21^2-19^2
La primera sólo se da en el número 9, por razones
evidentes
La diferencia entre 8^2 y 12^2 es la que más veces
se presenta, como en 115609, 115610, en los que 1+1+25+36+0+81=144=12^2,
1+1+25+36+1=64=8^2
El par 19, 21 no aparece hasta números de siete cifras,
así ocurre con 6999909 y 6999910:
36+81+81+81+81+0+81=441=21^2 y 36+81+81+81+81+0+1=361=19^2
Terminado
en 29
Diferencia 76 que sólo se da en 20^2-18^2. Hay muy
pocos casos. El primer ejemplo que hemos encontrado es 5889929 y 5889930.
25+64+64+81+81+4+81=400=20^2,
25+64+64+81+81+9+0=324=18^2
Otros ejemplos: 5898929, 5899829, 5988929,
5989829, 5998829 y 6699929
Terminado
en 49
La diferencia es 72, que se da en 11^2-7^2 y
19^2-17^2
Se dan las dos diferencias:
7 y 11: 10231349 y 10231350, ya que 1+0+4+9+1+9+16+81=121=11^2,
1+0+4+9+1+9+25+0=49=7^2
19 y 17: 11689949 y 11689950:
1+1+36+64+81+81+16+81=361=19^2, 1+1+36+64+81+81+25+0=289=17^2
Terminado
en 69
69 – Diferencia 68. Se da el 16,18, como era de
esperar:
Uno de los primeros ejemplos es 396969 y 396970,
con
9+81+36+81+36+81=324=18^2 y 9+81+36+81+49+0=256=16^2
Terminado
en 89
La única diferencia es 64, en 17^2-15^2. No se da
en los primeros ejemplos. Hay que buscar hasta más de un millón. El primero es
1156989 con 1156990, pues 1+1+25+36+81+64+81=289=17^2 y
1+1+25+36+81+81+0=225=15^2
Aunque la búsqueda ha resultado muy laboriosa,
podemos afirmar que se dan todas las terminaciones posibles, 09, 29, 49, 69 y
89 y que los cuadrados resultantes tienen como valor máximo 400=20^2. Esto
tiene un valor teórico importante, y es que las sucesión de números que estamos
estudiando no tiene carácter infinito,
pues está acotada por un número de 401 cifras, en el que todas las cifras
fueran distintas de cero, por ejemplo,1111…(401…1111.
Si deseas experimentar por tu cuenta, puedes
inspirarte en este código PARI, que está pensado para buscar terminaciones en
89 entre 1000000 y 3000000:
for(p=1000000, 3000000, a=norml2(digits(p));
b=norml2(digits(p+1)); if(issquare(a)&&issquare(b)&&p%100==89, print(p,", ",a,",
",b)))
Se han destacado en negrita los elementos que
tendrías que cambiar.
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