Sumandos en progresión aritmética (2)

En la anterior entrada de esta serie estudiamos los números que se pueden expresar como suma de tres números triangulares en progresión aritmética. En esta segunda buscaremos la misma propiedad con otros tipos de números.

Con cuadrados

El mismo planteamiento que con triangulares se puede seguir con cuadrados. Deseamos saber qué números son suma de cuadrados en progresión aritmética.

El mismo planteamiento inicial, cambiando la función estriangular por la de escuad nos dará los primeros términos, que resultan ser los siguientes, hasta 1000:

75, 300, 507, 675, 867, 1200, 1875, 2028, 2523, 2700, 3468, 3675, 4107, 4563, 4800, 5043, 6075, 7500, 7803, 8112, 8427, 9075,…

Por ejemplo, 675 es suma de tres cuadrados 675=3^2+15^2+21^2=9+225+441, con 441-225=225-9=216, por lo que están en progresión aritmética.

Es evidente que los números de esta sucesión son triple de cuadrados, por lo que constituyen una subsucesión de http://oeis.org/A033428

Como ocurría con los triangulares, si recordamos que los cuadrados se forman sumando impares, 1+3+5+7+9+…podíamos intentar ir sumando al cuadrado n^2 la diferencia 2n-1, que será simétrica de (n-1)^2, 2n-3, que llegará hasta (n-2)^2. Y así sucesivamente hasta llegar a diferencia 1. Como el número obtenido restando será cuadrado con seguridad, bastará analizar su simétrico en el cálculo. También, al igual que con los triangulares, se puede ir generando cuadrados simultáneamente. La rutina listasumprog de arriba quedaría ahora así:

Sub listasumprog()
Dim i, k, t, v, m
Dim e As Boolean

t = 4: k = 3 ‘primer cuadrado y primera diferencia 2n-1
While t < 5000
i = k: e = False: v = t + i ‘el valor de v es simétrico de un cuadrado, y ha de ser también cuadrado.
While i > 1 And Not e
If escuad(v) Then m = 3 * t: e = True: MsgBox (m) ‘si v es cuadrado, hay progresión aritmética
i = i – 2 ‘siguiente diferencia impar
v = v + i ‘incrementamos v
Wend
k = k + 2 ‘Estas dos líneas engendran los cuadrados centrales
t = t + k
Wend
End Sub

El resultado es:

75, 300, 507, 675, 867, 1200, 1875, 2028, 2523, 2700, 3468, 3675, 4107, 4563, 4800, 5043, 6075, 7500, 7803, 8112, 8427, 9075, 10092, 10800, 11163, 12675, 13872, 14700, 15987, 16428, 16875, 18252, 19200, 20172, 21675, 22707,

También esta sucesión estaba inédita, y la hemos publicado en https://oeis.org/A292313

Puedes reproducirlos con este código en lenguaje PARI:

t=4;k=3;while(t<=3000,i=k;e=0;v=t+i;while(i>1&&e==0,if(issquare(v),m=3*t;e=1;print1(m,", "));i+=-2;v+=i);k+=2;t+=k)

De igual forma se podría construir una función para detectar si un número es suma o no de cuadrados en progresión. Por no alargar lo dejamos como tarea de los lectores. Basta tomar la función essumaprog(n) de la entrada anterior sobre triangulares y sustituir estriangular por escuad.

Diferencias h y k

Si llamamos k a la diferencia del cuadrado central con el mayor de la terna y h a su diferencia con el menor (h será mayor que k), el hecho de ser progresión aritmética nos exige:

m^2-(m-h)^2=(m+k)^2-m^2

Simplificando:

2mh-h^2=2mk+k^2

Despejamos m:

m=(k^2+h^2)/(2(h-k)), con h>k

Por ejemplo, para el caso de 3m=75 tendríamos:

75=3*25; 1+25+49=75; 5=(4^2+2^2)/2/2=20/4=5

h y k deben ser ambos pares. Lo razonamos: m+k y m-h han de tener la misma paridad, pues su suma es 2m. Por tanto, h y k serán ambos pares o  ambos impares, lo que lleva a que h-k será par y contendrá el factor 2. Esto obliga a que h y k sean pares, pues en el denominador del cociente (k^2+h^2)/(2(h-k)) tendríamos dos factores 2, por lo que k^2+h^2 ha de ser múltiplo de 4, y si fueran ambos impares, sería múltiplo de 2, pero no de 4. Así que k y h son pares. Lo puedes comprobar con hoja de cálculo.

m es un número pitagórico, es decir m^2=u^2+v^2 para ciertos u,v

Como m-h y m+k tienen la misma paridad, los podemos interpretar como una suma y una diferencia, v-u y v+u, con lo que quedaría (v-u)^2 y (v+u)^2, siendo v=(m+k+m-h)/2 y u=(m+k-m+h)/2, o bien v=m+(k-h)/2 y u=(k+h)/2

Su promedio ha de ser m^2, luego:

((v-u)^2+(v+u)^2)/2=(2v^2+2u^2)/2=v^2+u^2=m^2

Hemos comprobado que m^2 es suma de dos cuadrados v^2+u^2.

Lo bueno de estas equivalencias es que son reversibles, por lo que todo número que sea suma de cuadrados distintos puede dar lugar a una progresión aritmética de cuadrados.

Lo vemos:

Propiedad directa: 1200 es suma de tres cuadrados en progresión aritmética:4^2+20^2+28^2, con lo que h=20-4=16 y k=28-20=8. Si definimos u=(28-4)/2=12 y v=(28+4)/2=16 tendremos que 16^2+12^2=256+144=400=1200/3=m^2, luego m es pitagórico.

Propiedad recíproca: Tomamos un número pitagórico, por ejemplo 29^2=20^2+21^2. En él u=20 v=21. Se tiene que u+v=41 y v-u=1, luego los cuadrados de 1, 29 y 41 debería formar progresión aritmética: 29^2-1^2=841-1=840 y 41^2-29^2=1681-841=840, luego coinciden las diferencias y es progresión aritmética.

Otros casos

Completamos la entrada con un breve repaso a otros casos.

Números oblongos

Está también inédita la sucesión de números que son suma de tres oblongos en progresión aritmética. Puedes buscarlos si sustituyes función estriangular por esoblongo, en la que se sustituye 8*n+1 por 4*n+1, o en el código PARI 8*v+1 por 4*v+1. Así:

t=2;k=2;while(t<=10^4,i=k;e=0;v=t+i;while(i>2&&e==0,if(issquare(4*v+1),m=3*t;e=1;print1(m,", "));i+=-2;v+=i);k+=2;t+=k)

Obtenemos la sucesión

126, 168, 216, 468, 918, 1026, 1140, 1260, 1518, 1950, 2106, 2268, 2790, 3168, 3996, 4218, 5418, 5676, 5940, 6210, 6768, 7056, 7650, 8268, 8910, 9240, 9576, 9918, 10266, 10620, 11346, 11718, 13668, 14076, 15336, 15768, 16650, 17556, 126, 168, 216, 468, 918, 1026, 1140, 1260, 1518, 1950, 2106,…

La hemos publicado en https://oeis.org/A292314

Es subsecuencia de http://oeis.org/A028896

Sus terceras partes se caracterizan por ser números oblongos equidistantes de otros dos oblongos. Los primeros son:

42, 56, 72, 156, 306, 342, 380, 420, 506, 650, 702, 756, 930, 1056, 1332, 1406, 1806, 1892,…

Vamos, por ejemplo el 342=18*19. Basta ir recorriendo oblongos menores y mayores que él para encontrar 132=11*12 y 552=23*24 tales que 552-342=210=342-132, con lo que formas progresión aritmética.

También estaban inéditos y los hemos publicado en https://oeis.org/A292316

Con semiprimos

Los primeros números que son suma de tres semiprimos en progresión aritmética son:

27, 30, 42, 45, 63, 66, 75, 78, 99, 102, 105, 114, 117, 138, 147, 153, 165, 171, 174, 186, 195, 207, …

Y sus terceras partes:

9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58

Lo curioso de estas sucesiones es que parecen estar en ellas todos los semiprimos mayores que 8. Esto se basa en un resultado de Meng. Probamos con un semiprimo cualquiera, como 721=7*103. Como en anteriores ocasiones, buscamos semiprimos cercanos, y encontramos 697=17*41 y 745=5*149, dos semiprimos tales que 745-721=721-697=24.

Con términos de la sucesión de Fibonacci

Ocurre como en el caso anterior, que todos los términos son media aritmética de otros dos, en concreto F(n)=(F(n-2)+F(n+1))/2, ya que F(n-2)+F(n+1)=F(n-2)+F(n-1)+F(n)=2F(n).

Esto convierte nuestra cuestión en algo trivial: todos los números de la forma 3*F(n) la cumplen.