viernes, 10 de junio de 2016

Semiprimos consecutivos


No es la primera vez que relacionamos semiprimos. En una entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2016/04/volvemos-los-numeros-arolmar-5.html) describimos los semiprimos arolmar. También hemos publicado en OEIS sucesiones relacionadas con ellos, como http://oeis.org/A187400.

Los semiprimos son aquellos números en cuya descomposición factorial aparecen sólo dos números primos, iguales, como en 9=3*3, o distintos, 6=2*3. En esta entrada no exigiremos que los dos factores de estos números sean distintos, por lo que nuestro estudio abarcará también los cuadrados de primos, es decir, todo el conjunto

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118,…
(http://oeis.org/A001358)

Todos ellos se caracterizan mediante la función BIGOMEGA, que cuenta los factores de cada número contando las repeticiones. En nuestro caso basta exigir que BIGOMEGA valga 2 para asegurar que un número es semiprimo. Si deseáramos que los factores fueran distintos, también nos aseguraríamos de que OMEGA, que cuenta los factores sin repetición, también valiera 2.
A partir de ahora nos dedicaremos a los semiprimos consecutivos, como 10=2*5 y 14=2*7. En este caso comparten el factor 2, pero esto no ocurre en general, hay consecutivos que no comparten factores, como 51=3*17 y 55=5*11.

Una primera cuestión que nos plantearemos es si la suma o diferencia de dos semiprimos consecutivos puede ser también un número semiprimo. Tenemos implementada la función ESSEMIPRIMO para hojas de cálculo, lo que facilita las búsquedas.

Public Function essemiprimo(n) As Boolean
Dim a, b

a = mayordiv(n)
b = n / a
If esprimo(a) And esprimo(b) Then essemiprimo = True Else essemiprimo = False
End Function

El problema es que usa la función mayordiv, por lo que lo dejamos aquí y pasamos al lenguaje PARI, que posee todas las funciones implementadas, es gratuito y de no muy difícil aprendizaje. En este lenguaje los semiprimos se caracterizan con la condición

bigomega(p)==2

Cada vez que encuentres una expresión similar en nuestras codificaciones sabrás que nos referiremos a que ese número es semiprimo.

Por ejemplo, con esta condición se puede encontrar el semiprimo más pequeño que es mayor que n mediante esta función:

proxsem(n)=local(p,s,r);s=0;p=n;while(s==0,p+=1;if(bigomega(p)==2,s=1;r=p)); return p}

En esta función la variable p va avanzando de unidad en unidad (p+=1) y creamos un bucle que no para hasta encontrar un semiprimo (bigomega(p)==2), en cuyo caso la variable de control s pasa de 0 a 1, para salir del bucle.

Si esta función la aplicamos a un semiprimo p, obtendremos un par de semiprimos consecutivos, con p y proxsem(p), que es la estructura con la que vamos a comenzar esta entrada.

Semiprimos consecutivos con suma también semiprima

Muchos pares de semiprimos consecutivos cumplen esto para la suma. Los primeros son:



En la tabla, creada con Excel, figura junto a cada número su descomposición en factores, sabiendo que el primer número del corchete es el factor primo y el segundo su exponente. Las dos primeras columnas contienen el par de semiprimos consecutivos y en la tercera su suma, también semiprima. Nos sorprendió su abundancia, pues creíamos que no aparecerían muchos.

Algunos comparten un factor, como 6, 9 y su suma 15, pero no es lo normal, En este caso, y en el anterior de 4, 6 y 10, es posible porque 2+3=5, suma prima de primos que sólo se da en los primos gemelos, pero según hemos observado, no dan lugar a semiprimos consecutivos. En la misma tabla, un poco más abajo, vemos que 34=2*17 no es consecutivo con 38=2*19, ya que se interpone 35=5*7. No hemos encontrado otros ejemplos con factores comunes.

Debemos inferir que aquí influye más la casualidad que las propiedades de los semiprimos en el hecho de que aparezca suma semiprima, como ocurre en el último ejemplo, en el que el par está formado por 129=3*43, 133=7*19 y su suma 262=2*131. Si recorres la tabla observarás que este caso se repite: dos semiprimos impares que suman un par con factor 2 y otro primo. No parece existir otra relación entre ellos.

Para buscarlos con PARI puedes usar esta codificación:

proxsem(n)=local(p,s,r);s=0;p=n;while(s==0,p+=1;if(bigomega(p)==2,s=1;r=p));p}
{for(i=1,2000,if(bigomega(i)==2,a=proxsem(i);if(bigomega(a+i)==2,print1(i,", "))))}

En la primera línea se define la función proxsem (próximo semiprimo) y en la segunda se emprende la búsqueda. El resultado es, para el primer semiprimo del par, el siguiente:

4, 6, 25, 34, 38, 39, 46, 51, 57, 65, 69, 77, 87, 93, 95, 106, 111, 118, 129, 133, 145, 146, 161, 166, 169, 177, 178, 187, 194, 201, 205, 206, 209, 213, 218, 221, 249, 262, 278, 291, 298, 305, 309, 314, 323, 334, 335, 341, 355, ...

Este resultado estaba inédito y lo hemos publicado en http://oeis.org/A272306.

Semiprimos consecutivos con diferencia también semiprima

Estos otros semiprimos se diferencian en un semiprimo con el siguiente semiprimo.

10, 15, 51, 58, 65, 87, 111, 123, 129, 146, 209, 226, 237, 249, 274, 278, 291, 305, 335, 346, 365, 371, 377, 382, 403, 407, 427, 447, 454, 485, 489, 493, 497, 505, 529, 538, 545, 573, 591, 597, 629, 635, 649, 681, 699, 707, 713, ...

Los hemos obtenido en PARI con el código

proxsem(n)=local(p,s,r);s=0;p=n;while(s==0,p+=1;if(bigomega(p)==2,s=1;r=p));p}
{for(i=1,2000,if(bigomega(i)==2,a=proxsem(i);if(bigomega(a-i)==2,print1(i,", "))))}

Con Excel:



No debemos pensar que esta tabla equivale a la anterior con las columnas cambiadas, pues fallaría el hecho de que los semiprimos han de ser consecutivos. Hemos publicado esta sucesión en http://oeis.org/A272307

Intersección de ambos

Un subconjunto interesante de la primera sucesión (A272306) es el siguiente, su intersección con A272307:

51, 65, 87, 111, 129, 146, 209, 249, 278, 291, 305, 335, 377, 407, 447, 485, 489, 497, 629, 681, 699, 749, 767, 785, 917, 939, 951, 989, 1007, 1018, 1037, …

Recogemos en la tabla cada término con su siguiente semiprimo y la diferencia entre ambos


No siempre resultan cuadrados en la diferencia, después aparecen otros semiprimos. El primero que aparece es el 15, correspondiente al semiprimo 5818 y su consecutivo 5833.

Números consecutivos, ambos semiprimos, cuya suma es semiprima

Dos semiprimos consecutivos pueden serlo también como números (N y N+1). Ya están publicados en http://oeis.org/A188059 (sólo el semiprimo más pequeño del par)

25, 34, 38, 57, 93, 118, 133, 145, 177, 201, 205, 213, 218, 298, 334, 361, 381, 394, 446, 501, 633, 694, 698, 842, 865, 878, 898, 921, 1114, 1141, 1226, 1285,…

Por ejemplo, 57=3*19, 58=2*29, y su suma 115=5*23 también es semiprimo.

Semiprimos consecutivos que suman un primo

Terminamos con otras dos curiosidades, aunque podríamos abordar más. Dos semiprimos consecutivos pueden producir un número primo al sumar o restar. Estos que siguen suman un primo:

9, 14, 21, 22, 26, 33, 35, 62, 74, 82, 86, 115, 141, 155, 158, 226, 259, 267, 295, 326, 346, 358, 362, 393, 417, 453, 482, 623, 703, 718, 734, 771, 799, 914, 933, 934, 955, 995, …

Por ejemplo, 33=3*11 es semiprimo. Su consecutivo es 34=2*17, y su suma 67 es prima.

Los hemos publicado en http://oeis.org/A272308, y puedes estudiar allí varias formas de generarlos.

Igualmente, existen semiprimos consecutivos con diferencia prima. Los primeros son:

4, 6, 22, 26, 35, 39, 46, 49, 55, 62, 69, 74, 77, 82, 91, 95, 106, 115, 119, 134, 143, 155, 159,… y los hemos publicado en http://oeis.org/A272309

Por ejemplo 69=3*23 y 74=2*37 se diferencian en 7, que es primo.