viernes, 8 de mayo de 2015

Relaciones entre un número y su sigma (2)

En la anterior entrada estudiamos casos curiosos de números poligonales con sigma triangular.
Seguimos hoy con otros casos:

Sigma cuadrada

Busquemos ahora los casos en los que SIGMA(N) sea un número cuadrado.
La lista de todos ellos ya está publicada en https://oeis.org/A006532. Son  estos:

1, 3, 22, 66, 70, 81, 94, 115, 119, 170, 210, 214, 217, 265, 282, 310, 322, 343, 345, 357, 364, 382, 385, 400, 472, 497, 510, 517, 527, 642, 651, 679, 710, 742, 745, 782, 795, 820, 862, 884, 889, 930, 935, 966, 970, 1004, 1029, 1066, 1080, 1092,…

Por ser SIGMA una función multiplicativa, y como el producto de dos cuadrados es otro cuadrado, se cumplirá (ver A006532) que si dos términos de esta sucesión son primos entre sí, su producto pertenecerá también a la sucesión. Por ejemplo, 3  y 70 son primos entre sí, y su producto, 210, también pertenece a las sucesión.

Nosotros ahora distinguiremos algunos casos y presentaremos sucesiones no publicadas.

En primer lugar nos preguntaremos si un número cuadrado puede tener su sigma también cuadrada. La respuesta es afirmativa.

Números cuadrados con sigma cuadrada

Se conocen todos los casos, que están recogidos en https://oeis.org/A008848

1, 81, 400, 32400, 1705636, 3648100, 138156516, 295496100, 1055340196, 1476326929, 2263475776, 2323432804, 2592846400, 2661528100, 7036525456, 10994571025, 17604513124, 39415749156, 61436066769, 85482555876, 90526367376, 97577515876, 98551417041,…

Aquí se ve que son muy escasos, porque estamos exigiendo una condición fuerte.

En esta sucesión no hay cuadrados de números primos. Todos tienen al menos dos factores  distintos. La razón es la siguiente: Si p es primo, SIGMA(p2)=p2+p+1. Si esta expresión ha de ser un cuadrado, se cumplirá p2+p+1=m2, con m>p. De ahí deducimos que p+1=m2 - p2 = (m+p)(m-p), pero esto es imposible porque con tomar sólo m+p ya es mayor que p+1.

El caso contrario sí se puede dar: la sigma de 81 es 112 y la de 400, 312. Es probable que sólo se den esos dos casos.

Tal como procedíamos en la anterior entrada, intentaremos buscar términos de la sucesión que sean triangulares, oblongos o de otro tipo. Primos no pueden ser porque sigma(p)=p+1 si es primo, y tendríamos p+1=m2 y p=m2-1=(m+1)(m-1) y no sería primo salvo el caso de 3.

Triangulares con sigma cuadrada

Este caso no estaba publicado y hemos procedido a ello  en https://oeis.org/A256151

1, 3, 66, 210, 820, 2346, 4278, 22578, 27966, 32131, 35511, 51681, 53956, 102378, 169653, 173755, 177906, 223446, 241860, 256686, 306153, 310866, 349866, 431056, 434778, 470935, 491536, 512578, 567645, 579426, 688551, 799480, 845650, 893116, 963966, 1031766, 1110795, 1200475, 1613706, 1719585, 1857628, 1991010,…

Los hemos obtenido con Excel y con este programa de PARI:

PARI {for(i=1,2*10^3,n=i*(i+1)/2;if(issquare(sigma(n)),print1(n,", ")))}

Algunos de ellos son libres de cuadrados



Como SIGMA es una función multiplicativa y todos los factores son primos, si un número es el producto de primos N=p*q*r*s*…, SIGMA(N)=(p+1)(q+1)(r+1)(s+1)… y deberá tener los factores primos “emparejados”, a fin de que se forme un cuadrado.

Lo vemos con un ejemplo: 210=2*3*5*7,
SIGMA(N)=(2+1)(3+1)(5+1)(7+1)=3*4*6*8=3*3*2*2*2*2*2*2=24^2

Casi todos ellos son múltiplos de 2 o de 3, e incluso de ambos, como puedes ver en su perfil para los primeros primos:


Un caso curioso que no es múltiplo de estos dos primos es el de 32131, producto de los primos 11, 23 y 127, que es triangular porque 32131=11*23*127=253*127=253*254/2, y su sigma, por la propiedad multiplicativa, será Sigma(32313)=12*24*128=212*32, número cuadrado. Se produce el emparejamiento de factores que vimos en anteriores párrafos.

Semiprimos con sigma cuadrada

Si los semiprimos tienen los dos factores primos iguales, no presentan interés, ya que son cuadrados y hemos estudiado ese caso. Si sus factores son distintos,  N=p*q y SIGMA(N)=(p+1)(q+1) ha de ser un cuadrado. Esto exige que las partes libres de cuadrados de p+1 y q+1 sean iguales.
Los números que cumplen esto son:

22, 94, 115, 119, 214, 217, 265, 382, 497, 517, 527, 679, 745, 862, 889, 1174, 1177, 1207, 1219, 1393, 1465, 1501, 1649, 1687, 1915, 1942, 2101, 2159, 2201, 2359, 2899, 2902, 2995, 3007, 3143, 3383, 3401, 3427, 3937, 4039, 4054, 4097, 4315, 4529, 4537, 4702, 4741, 5029, 5065, 5398, 5587, 5729, 6167, 6169, 6457, 6539, 6739, 6769, …

Se pueden reproducir con PARI

{for(i=1,10^4,if(omega(i)==2&&issquarefree(i)&&issquare(sigma(i)),print1(i,", ")))}

También se encuentran con Excel si se dispone de las funciones adecuadas.

Los hemos publicado en https://oeis.org/A256152

En su gráfico de múltiplos vemos que ningún elemento lo es de 3.



Ningún término es múltiplo de 3, por las razones que expondremos en el siguiente párrafo. Llama la atención el predominio de los múltiplos de 7. Una causa probable es que su sigma es 50, el doble de un cuadrado.

Esto nos invita a definir un primo asociado de otro si es el primero que multiplicado por él da un producto con sigma cuadrada. El 3 no tiene asociado, porque es el único primo del tipo k2-1, ya que otro primo de ese tipo sería el producto de dos factores (k+1)(k-1) ambos mayores que 1. Esto nos lleva a que sigma(3) es cuadrada, y su único asociado sería él mismo, pero entonces el semiprimo 3*3 no entrarían en nuestro estudio.

Aquí tienes los primeros (el 3 no tiene y se ha asignado un 1)



Hemos probado a encontrar otro más además del 3 que no tenga asociado. Hemos usado PARI y nos ha resultado que hasta 10000 todos tienen asociado algún primo. Aquí tienes algunos cuyo asociado sobrepasa 10^6:



Llama la atención el asociado a 7603

Es probable que sea cierta la conjetura de que todo primo mayor que 3 posee un asociado tal que su producto tenga sigma cuadrada.

Otros casos

Podemos intentar buscar situaciones nuevas. Nosotros no lo haremos, pero aquí tienes alguna propuesta por si deseas completarla y publicarla en OEIS:

Oblongos con sigma cuadrada

210, 930, 2652, 26082, 34782, 42642, …

Triangulares con sigma oblonga

6, 28, 55, 496, 666, 780, 1540, 2145, 6441, 6903, 8128,…

Entre ellos están los números perfectos.

Intenta completarlas a más términos.