viernes, 27 de marzo de 2015

Antisigma de un número natural


Al igual que se ha definido la función SIGMA(N) como la suma de todos los divisores de N (incluido él mismo), podemos definir la ANTISIGMA(N), que es la suma de los números menores que N y que no lo dividen, Por ejemplo, la antisigma de 8 sería la suma de 3+5+6+7=21, y sigma(8) es igual a 1+2+4+8=15.

Los valores de esta función antisigma son los siguientes, que están incluidos en https://oeis.org/A024816

0, 0, 2, 3, 9, 9, 20, 21, 32, 37, 54, 50, 77, 81, 96, 105, 135, 132, 170, 168, 199, 217, 252, 240, 294, 309, 338, 350,…

Comprueba que para el 8 se da el valor de 21, que es el que hemos calculado.

No se debe confundir con la indicatriz de Euler, que cuenta los números primos con N. En la suma correspondiente al 8 figura el 6, que no divide al 8, pero tampoco es primo con él. Con estos números primos con N se puede formar también una suma. Nosotros, para entendernos, la llamaremos S_EULER. Puedes consultar la página https://oeis.org/A023896. En el caso del 8, la suma sería 1+3+7=11 (por convención, se considera el 1 primo con todos los demás números. Esto facilita los cálculos). Es evidente que S_EULER(N) será siempre menor o igual que ANTISIGMA(N), porque sus sumandos están incluidos en la otra suma.

La suma de SIGMA(N) y ANTISIGMA(N) es muy fácil de calcular, ya que se trata de sumar todos los números desde 1 hasta N, y esto sabemos que es igual a N(N+1)/2.

Relación fundamental: SIGMA(N)+ANTISIGMA(N)=N(N+1)/2

Si no se dispone de la función SIGMA, también se puede encontrar ANTISIGMA. Por ejemplo, puedes usar este código Basic de Excel:

Public Function antisigma(n) 'suma los no divisores
Dim i, a

a = 0
For i = 1 To n
If n / i <> n \ i Then a = a + i  ‘no es divisor de n, y se suma
Next i
End If
antisigma = a
End Function

Si ya tienes implementada SIGMA, el desarrollo es mucho más simple:

Public Function antisigma(n)
antisigma = n * (n + 1) / 2 - sigma(n)
End Function

Así lo haremos en PARI

antisigma(x)=x*(x+1)/2-sigma(x)

Antisigmas calculables mediante una fórmula 

Nos referimos a una fórmula sencilla, sin tener que proceder a una descomposición complicada en factores primos.

Antisigma de un número primo

Si p es primo, es posible encontrar una fórmula para la antisigma. En efecto, por la relación anterior, antisigma(p)=p(p+1)/2-sigma(p)=p(p+1)/2-(p+1)=(p2+p-2-2p)/2=( p2-p-2)/2=(p+1)(p-2)/2, Hemos usado el hecho de que la sigma de un primo p equivale a p+1, como es evidente.

Así que si p es primo, es válida la fórmula

Por ejemplo, antisigma(7)=8*5/2=20, antisigma(13)=14*11/2=77

Es curioso el hecho de que esta función sea evaluable directamente en este caso. Constituye una relación cuadrática, y su diagrama conjunto forma una parábola.


En los números compuestos hay que descomponer en factores primos previamente, y se pierde así una relación tan directa.

Antisigma de una potencia de 2

Si N=2k, entonces sigma(N)=1+2+4+8+…2k=(2k+1-1)/(2-1)=2k+1-1. Aplicamos la relación fundamental y nos queda:
Antisigma(2k)=2k(2k+1)/2-(2k+1-1)=(22k+2k-2*2k+1+2)/2=(22k-3*2k+2)/2
(2k-2)(2k -1)/2=(N-1)(N-2)/2  y también (2k-1-1)(2k -1) (ver http://oeis.org/A134057)

La antisigma de una potencia de 2 es un número triangular. Si la potencia es N, su antisigma hemos visto que es (N-1)(N-2)/2, el triangular de orden N-1. Lo puedes comprobar en este listado:


Antisigma de semiprimos con factores diferentes

Un caso también sencillo es el de semiprimos producto de dos primos diferentes. Si N=pq, con p y q primos, es posible encontrar una fórmula sencilla para la antisigma. Los valores son los siguientes:

N      Antisigma(N)
6 9
10 37
14 81
15 96
21 199
22 217
26 309
33 513r
34 541
35 582
38 681

Busquemos la fórmula que los genera: La sigma de un número primo p es p+1, luego de q será q+1. Como es una función multiplicativa, la sigma del producto equivaldrá a (p+1)(q+1) y por tanto la antisigma pq(pq+1)/2-(p+1)(q+1). Parece que queda mejor así sin intentar simplificarla. La comprobamos: 35=5*7, luego su antisigma será 35*36/2-6*8=35*18-48=582

Antisigma de la potencia de un primo

Es otro caso sencillo. La sigma de una potencia de primo pr viene dada por 1+p+p2+p3+…+ pr, es decir:



Por tanto, la antisigma vendrá dada por



Lo comprobamos: según el primer listado, la antisigma de 27 es 338, y según esta fórmula se obtendría

Asig(33)=27*28/2-(81-1)/2=338