lunes, 17 de noviembre de 2014

Sucesión de Perrin


En la pasada temporada dedicamos varias entradas a las sucesiones definidas mediante una recurrencia de segundo orden. Ahora comenzaremos una serie sobre las de tercer orden. Entre ellas son muy populares las de Perrin y Padovan. Como en las anteriores, nuestro planteamiento no será teórico, pues ya existe mucho publicado sobre ellas. El objetivo será crear esquemas y cálculos que faciliten  la comprensión de sus propiedades.

Sucesión de Perrin

La teoría fundamental sobre esta serie la puedes consultar en

http://mathworld.wolfram.com/PerrinSequence.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Perrin_number

Aquí la describiremos con la ayuda de la herramienta que hemos ofrecido en entradas anteriores, alojada en

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Definición

Esta sucesión es recursiva de tercer orden homogénea, por lo que necesita tres valores iniciales y que X(n) dependa de los tres valores anteriores X(n-1), X(n-2) y X(n-3) mediante la relación

Xn= A*Xn-1+B*Xn-2+C*Xn-3

En este caso particular sólo depende de los dos últimos, y no de X(n-1). Concretando:

Condiciones iniciales: X0=3   X1=0  X2=2 Ecuación de recurrencia: Xn= Xn-2+Xn-3

Es como una sucesión del tipo Fibonacci pero “con retraso”, pues los que se suman no son los dos anteriores, sino los que están un paso más atrás.

En nuestra hoja de cálculo se define así (segunda hoja del libro):



El primer coeficiente es nulo, que es lo que produce el “retraso”, y debajo tienes los tres valores iniciales.

La sucesión resultante la vemos pulsando el botón correspondiente:


Esta popular sucesión la tienes disponible en http://oeis.org/A001608, donde les llaman números skiponacci, quizás por los saltos o retardos que presentan: 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119, 158, 209, 277, 367, 486, 644, 853,…

Ecuación característica

La ecuación característica correspondiente será X3-x-1=0. Con el botón Resolver de esa hoja obtienes las tres soluciones de la ecuación, una real y dos complejas



Coinciden con las soluciones que da WxMaxima



La solución real 1,32471…(aquí sólo aproximada) es el número plástico y, cuyo nombre se eligió como afín al número de oro o el de plata. En estas páginas puedes estudiarlo más a fondo:

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pl%C3%A1stico
http://revistasuma.es/IMG/pdf/57/055-064.pdf http://cscmates.blogspot.com.es/2010/11/el-numero-de-plastico.html

Recordemos que, como en sucesiones anteriores, todo número de Perrin es combinación lineal de las potencias de las tres soluciones de la ecuación característica, pero las dos complejas tienen módulo menor que la unidad, por lo que sus potencias tenderán a cero en valor absoluto. Por tanto, X(n) se acercará asintóticamente a yn

Se puede construir una tabla doble en la que se observe este acercamiento:



A partir de un cierto orden basta redondear la potencia para obtener el número de Perrin  correspondiente. Lo puedes comprobar en las últimas filas de la tabla.

Función generatriz

Usando procedimientos similares a los que explicamos para las recurrentes de segundo orden, se puede demostrar que la función generatriz es

Puedes comprobar que esta es la F.G. adecuada efectuando este desarrollo en PARI

write("sucesion.txt",taylor((3-x^2)/(1-x^2-x^3),x,20))

Te escribirá en un archivo sucesión.txt su desarrollo, y aparecerán como coeficientes los términos de la sucesión de Perrin:

3 + 2*x^2 + 3*x^3 + 2*x^4 + 5*x^5 + 5*x^6 + 7*x^7 + 10*x^8 + 12*x^9 + 17*x^10 + 22*x^11 + 29*x^12 + 39*x^13 + 51*x^14 + 68*x^15 + 90*x^16 + 119*x^17 + 158*x^18 + 209*x^19 + O(x^20)

Sucesión de Perrin y números primos

La propiedad más conocida de estos números es que si p es primo, p divide a X(p). Por ejemplo, X(11)=22, que es múltiplo de 11. Podemos construir una tabla en la que dividamos X(n) entre n y los cocientes enteros se corresponderán con los números primos:



A pesar de su carácter algo extraño, la propiedad ha sido demostrada para todos los números primos. La contraria no es cierta. X(n) puede ser múltiplo de n sin que este sea primo. A estos términos se les suele llamar pseudoprimos de Perrin (http://oeis.org/A013998):

271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291,…

Otras propiedades

La paridad de X(n) recorre el ciclo {1, 0, 0, 1, 0, 1, 1} Es fácil de ver: las tres primeras vienen determinadas por la definición (en color rojo en la imagen). Las siguientes dependen de dos anteriores. Por tanto, existirá ciclo si se vuelve a repetir el par 1 0, y esto ocurre siete lugares más adelante (color verde):


Para ampliar el tema puedes visitar http://www.mathpages.com/home/kmath345/kmath345.htm en el que se incluye la espiral triangular creada con estos números.


Propiedades matriciales

Estas entradas sobre sucesiones recurrentes también se plantean el objetivo de un mayor conocimiento de las hojas de cálculo. Por eso vamos a aprovechar las propiedades matriciales de la sucesión de Perrin para  repasar este tipo de funciones.

La primera propiedad matricial se resume en la siguiente fórmula para n>2:


Recuerda que la traza es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada.
Para comprobarlo con una hoja de cálculo organizaremos este esquema:


Comenzamos escribiendo a la izquierda la matriz M dos veces, y a la derecha las multiplicamos.
Para ello usaremos la función matricial MMULT, pero como es de tipo matricial deberás seleccionar la matriz de la derecha (debajo del rótulo “Potencia n de M), después escribir una fórmula similar a esta: =MMULT(C3:E5;G3:I5), tomando como rangos los de las matrices de la izquierda. Cuando escribas la fórmula no termines con Intro, sino con la combinación Ctrl+Mayúsc+Intro, para indicar que la fórmula es de tipo matricial. Notarás que lo has escrito bien porque la fórmula se verá entre corchetes.

A la derecha de las matrices puedes incluir la traza de la tercera, que en la imagen te da 2. Después copia la tercera sobre la primera matriz con copia sólo de valores, y te resultará el siguiente número de Perrin, en este caso 3, porque esta propiedad genera la sucesión a partir del tercer término.
Seguirían 2, 5, 5, 7, 10,…

Variante de la anterior expresión

Si en lugar de usar la traza empleamos un producto por la matriz (en vertical) (3, 0, 2), obtenemos tres términos en lugar de uno. La expresión sería ahora:



Bastaría borrar la traza en el anterior esquema y sustituirla por otro nuevo producto matricial con la (3, 0, 2). Lo dejamos como ejercicio. Aquí tienes la generación de los términos 5, 7 y 10






No hay comentarios: