Resultados curiosos de la suma de divisores cuadrados

Engendramos cuadrados

La siguiente sucesión presenta varias propiedades respecto a la suma de los divisores cuadrados (ver entrada anterior) que merece la pena destacar

1764, 60516, 82369, 529984, 2056356, 2798929, 3534400, 18181696, 38900169, 96020401, 97121025, 335988900, 455907904, 457318225, 617820736, 1334513961, 1599200100, 2176689025, 3279852900, 4464244225, 8586616896…(publicada en https://oeis.org/A232554)

Todos ellos son cuadrados tales que la suma de sus divisores cuadrados, incluidos ellos mismos, también es un cuadrado. Sí, puedes volver a leerlo si no lo has captado. En la siguiente tabla puedes comprobar esta propiedad:

En la primera columna figuran los elementos de la sucesión. Hemos prescindido del 1, que también cumpliría la misma propiedad. En la siguiente su descomposición en factores primos, que ya analizaremos. Como en la entrada anterior sugeríamos sumar los divisores cuadrados mediante la función sigma_2 aplicada a la raíz interna, hemos calculado dicha suma en las siguientes columnas, comprobando mediante su raíz cuadrada que se trata de cuadrados perfectos. Finamente también se han calculado los factores de esas raíces.

Se pueden generar con este código en lenguaje PARI:

{for(n=1,10^5,m=n*n;k=sumdiv(m,d,d*issquare(d));if(issquare(k)&&k>>1,print(m)))}

Factorización

Podemos observar que ningún término de la sucesión es potencia de un solo primo.

Con dos factores primos distintos sólo se dan tres casos, que puedes buscar en la tabla, y los primos que intervienen son 7, 41 y 239, curiosamente pertenecientes a la sucesión de primos  p para los que p^2+1 no está libre de cuadrados (ver el documento de Rafael Parra http://hojamat.es/parra/NumerosLDC.pdf y la sucesión https://oeis.org/A224718). En el caso de los tres citados, 7^2+1=2*25^2, 41^2+1=2*29^2 y 239^2+1=2*13^4. Si ahora los multiplicamos dos a dos, obtendremos un factor 2*2=4 multiplicado por dos cuadrados, luego será cuadrado perfecto, como se pedía.

Otra curiosidad es que las sumas de cuadrados son todas pares y muchas de ellas múltiplos de 100. Sus raíces son pares hasta donde hemos buscado. Queda ahí abierta una cuestión para estudiarla con más ciencia que nosotros.

Sucesión derivada

Si multiplicamos los términos de esta sucesión por otro número libre de cuadrados resultará otra sucesión formada por números no cuadrados con suma de divisores cuadrados propios que resulta ser cuadrada:

3528, 5292, 8820, 10584, 12348, 17640, 19404, 22932, 24696, 26460, 29988, 33516, 37044, 38808, 40572, 45864, 51156, 52920, 54684, 58212, 59976, 61740, 65268, 67032, 68796, 72324, 74088, 75852, 81144, 82908, 89964, 93492, 97020……(publicada en https://oeis.org/A232555)

Podemos construir todos los múltiplos de ese tipo hasta una cota, por ejemplo un millón y después ordenarlos en sucesión. Así lo hemos hecho y casi todos los primeros son múltiplos de 1764.

En realidad esta sucesión es parte de otra más amplia en la que aparecen todos los casos, y no sólo estos múltiplos que hemos considerado. Son estos:

Números cuya suma de divisores cuadrados propios es otro cuadrado mayor que 1

900, 3528, 4900, 5292, 8820, 10404, 10584, 12348, 17640, 19404, 22932, 24696, 26460, 29988, 33516, 37044, 38808, 40572, 45864, 51156,  52920, 54684, 58212, 59976, 61740, 65268, 67032, 68796, 72324, 74088, 75852, 79524, 81144, 81796, 82908, 89964, 93492, 97020………(publicada en https://oeis.org/A232556)

En ellos la suma de divisores cuadrados propios es otro cuadrado. Por ejemplo, la suma en el caso de 5292 es  1764+441+196+49+36+9+4+1=2500=50^2, que también es un cuadrado.

Aunque los hemos buscado con funciones de hoja de cálculo, se puede intentar también con PARI. Prueba si quieres este código:

{for(n=1,10^5,k=sumdiv(n,d,d*issquare(d)*(d<n));if(issquare(k)&&k>>1,print(n)))}

Todos los encontrados son múltiplos de 4 y al menos poseen tres factores primos distintos. De ellos, algunos son también cuadrados:

900, 4900, 10404, 79524, 81796, 417316, 532900, 846400, 1542564, 2464900, 3232804, 3334276, 3496900, 12432676, 43850884, 50836900, 51811204, 71470116, 107453956, 236975236, 253892356, 432889636, 544102276, 864948100, 1192597156, 1450543396, 1554094084, 2024820004, 2165413156………(publicada en https://oeis.org/A232557)

No son cuadrados el resto: 3528, 5292, 8820, 10584, 12348,…que resultan ser los múltiplos de la primera sucesión que ya tratamos.

Resumimos:

Sucesiones de cuadrados

(1) Pueden formar un cuadrado sumándoles todos sus divisores cuadrados propios. Nos resultaría la primera sucesión: 1764, 60516, 82369, 529984,…(A232554)

(2) Forman un cuadrado sólo la suma de divisores propios, sin sumarles el número dado. Tendríamos la sucesión: 900, 4900, 10404, 79524, 81796,…(A232557)

Sucesiones de no cuadrados

(3) Números cuyos divisores cuadrados suman otro cuadrado. Son 3528, 5292, 8820, 10584,…(A232555) Son múltiplos de elementos de la sucesión (1)

Sin condicionamiento

(4) La unión de la sucesión (2) con la (3) (A232556)
   
Formamos palindrómicos

Con la suma de divisores cuadrados podemos formar números palindrómicos. Es una simple curiosidad, pero está inédita, que sepamos. Hay dos formas, con divisores cuadrados propios o con todos:

Con divisores propios

Estos son los números en los que la suma de divisores cuadrados propios es un número palindrómico de al menos dos cifras (para eliminar casos triviales):

144, 324, 1089, 1936, 5929, 13225, 30752, 46128, 58564, 76880, 92256, 107632, 125316, 138384, 149769, 153760, 154449, 169136, 199888, 215264, 230640, 261392, 292144, 322896, 338272, 342225, 353648, 378225, 399776, 405769, 445904, 461280, 476656, 507408, 522784, 538160, 568912, 584288, 599664
(Los hemos publicado en https://oeis.org/A232892)

Si expresamos el resultado en una tabla de dos columnas, vemos los resultados palindrómicos a la derecha:

Llama la atención la frecuencia con la que aparece el valor 20202, y prolongando la tabla veríamos muchos más. La razón de esto es que el primer caso, 30752=2⁵*31²,  tiene como divisores cuadrados  15376+3844+961+16+4+1=20202, que provienen de los factores 2⁴*31² =15376 y entonces, si multiplicamos ese número por factores libres de cuadrados se volverá a dar el mismo caso. En efecto, según la tabla, los siguientes son: 46128=15376*3, 76880=15376*5, 92256=15376*6, 107632=15376*7,…

La pregunta es por qué no funciona este razonamiento en los primeros casos de la tabla. La respuesta es que esos números son cuadrados y si los multiplicamos por un libre de cuadrados, se convertirían ellos mismos en divisores cuadrados propios, y eso alteraría la suma.

Un código PARI para encontrarlos puede ser

reverse(n)=concat(Vecrev(Str(n)))
palind(n)=(Str(n)==reverse(n)&&n>10)
{for(n=1,10^5,k=sumdiv(n,d,d*issquare(d)*(d<n));if(palind(k),print(n)))}

Con todos los divisores cuadrados

Los primeros números con esta propiedad son

15376, 30752, 46128, 76880, 92256, 107632, 153760, 169136, 199888, 215264, 230640, 261392, 292144, 322896, 338272, 353648, 399776, 445904, 461280, 476656, 507408, 522784, 538160, 568912, 584288, 599664, 630416, 645792, 661168, 707296, 722672, 784176, 814928, 845680, 876432, 891808, 907184, 937936, 953312, 999440,…
(Los hemos publicado en https://oeis.org/A232893)

Todos producen la suma de cuadrados 20202, que ya vimos, y todos son múltiplos del primero 15376 con cociente libre de cuadrados. Esta situación llega hasta el número 2217121, que ya no es múltiplo de 15376 y la suma palindrómica que produce es 2217122, ya que sus únicos divisores cuadrados son él mismo y la unidad.

Código PARI:

reverse(n)=concat(Vecrev(Str(n)))
palind(n)=(Str(n)==reverse(n)&&n>10)
{for(n=1,10^5,k=sumdiv(n,d,d*issquare(d));if(palind(k),print(n)))}

Otras sumas

Podemos intentar lograr números de otros tipos, como triangulares u oblongos, pero los resultados son tan abundantes que pierden su interés. En el caso de los oblongos los primeros resultados son múltiplos de 144. Ahí tienes una exploración.