miércoles, 17 de abril de 2013

Y ahora la suma de cubos de impares nos lleva a Pell

En la entrada anterior, inspirados en propuestas de Benjamin Vitale
(http://benvitalenum3ers.wordpress.com/2013/02/21/sum-of-the-cubes-of-consecutive-odd-numbers-is-a-square/) desarrollamos cálculos de sumas de cubos consecutivos que equivalían a un cuadrado perfecto.

¿Y si sólo tomáramos impares?

Comenzamos con la unidad

¿A qué equivalen las sumas del tipo 13+33+53+73+…si han de coincidir con un cuadrado?

En la entrada aludida de Benjamín Vitale se propone la fórmula S(n)= n2 (2n2 – 1). La demostración no es complicada. Nos basamos en lo demostrado para sumas de cubos consecutivos







Si ahora suprimimos las sumas de cubos pares es fácil ver que (intenta justificarlo)


Simplificando llegamos a la expresión propuesta S(n)= n2 (2n2 – 1)

Para que se cumpla lo pedido, de que la suma sea un cuadrado, el paréntesis ha de ser otro cuadrado

Esto nos lleva a plantear: 2n2-1=m2

Pero esta es la ecuación de Pell con el segundo miembro igual a -1 y D=2

X2-2Y2=-1

La primera solución se ve que es X=1 Y=1 y nos daría la solución trivial del problema 13=12

Para encontrar las demás puedes a acudir a nuestra entrada http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/ecuacion-de-pell.html

En ella tienes las fórmulas de recurrencia para encontrar más soluciones, pero es más cómodo acudir a nuestra herramienta http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell
A continuación te presentamos las primeras soluciones obtenidas con ella



Nos quedamos con las correspondientes a -1: 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025,… http://oeis.org/A001653 que se corresponderán con el número de sumandos de cubos de impares que nos producen un cuadrado, el cual podemos calcularlo con la fórmula presentada arriba. Por ejemplo

Para n=5, el cuadrado será 5^2*(2*5^2-1) = 25*49 = 35^2 = 1225
En efecto: 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 = 1+27+125+343+729 =   1225

En realidad esa secuencia está definida en OEIS como la de números que verifican que 2n2 – 1 es un cuadrado, pero como nosotros exigimos que lo sea n2 (2n2 – 1), es una condición equivalente. Si te apetece lee los comentarios contenidos en esa dirección, que pueden resultarte interesantes.

Aquí tienes la comprobación para 29 sumandos:



Comenzando en otro cubo

Para obtener un resultado similar, pero comenzando la suma en cualquier número impar, no necesariamente el 1, necesitaremos restar las expresiones de dos sumas completas diferentes y exigir que sean un cuadrado perfecto:

S(m)-S(n)= m^2 (2*m^2 – 1) - n^2 (2*n^2 – 1) = k^2

O bien

2*(m^4-n^4)-(m^2-n^2) =k^2

Con un algoritmo similar al empleado en casos anteriores, podemos encontrar los valores de m y n que cumplen esa igualdad:

For m=2  To 1000
For n = 1 To m - 2
c = sqr(2 * (m^ 4 - n ^ 4) - (m ^ 2 - n^ 2))
If c=Int(c) Then
Msgbox(m)
Msgbox(n+1)
End If
Next n
Next m

Hay que observar que el algoritmo devuelve n+1, porque debemos recordar que n es el valor anterior a la suma. Así hemos obtenido estos valores para el inicio y el final de las sumas de cubos de impares que produzcan un cuadrado:



La primera nos lleva a 5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3 = 90^2, es decir, desde el tercer impar hasta el octavo.

La segunda va desde el término 13º hasta el 37º:

25^3+27^3+29^3+…+73^3=1925^3

Puedes construirte un modelo para comprobar otras soluciones con hoja de cálculo. Sólo necesitas una columna con números de orden, otra con los impares, y otra con sus cubos. Después seleccionas una parte adecuada de estos (por ejemplo, desde el 46º hasta el 59º, los sumas con la función SUMA y le hallas la raíz cuadrada para ver si es entera:



Si no tienes suficiente con estas búsquedas, intenta analizar algebraicamente la condición

2(m4-n4)-(m2-n2) =k2

Ya nos contarás. Es que en este blog el Álgebra nos cansa mucho.