Los huecos de un primo

 (Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas Edición 2.6, organizado en esta ocasión por La vaca esférica)


Los cinco primos de Fermat conocidos, 3, 5, 17, 257 y 65537, tienen en común que su representación en el sistema de numeración binario está formada por un 1, un conjunto de ceros y al final otro 1. Son números con un gran hueco entre dos unidades. Por ejemplo el 65537 está representado por 10000000000000001. Sólo se conocen esos cinco primos con esa estructura (es fácil demostrar que los de Fermat son los únicos posibles).

¿Habrá primos con otras estructuras posibles en sus huecos entre unos?

Podíamos buscar los que estuvieran formados por dos intervalos iguales, como 100010001. ¿Habrá alguno? Sí, pero sólo se conocen tres: 7, 73 y 262657. Puedes leer algunos detalles en http://oeis.org/A051154

¿Y si buscáramos primos con estructuras similares a 1000100010001, con cuatro unos? Pues yo no lo haría. Seguro que son compuestos ¿por qué? En realidad no debes probar con ningún ejemplo que contenga un número par de unos situados de forma equidistante.

No hemos encontrado más ejemplos con un número impar de huecos similares.

Podemos renunciar a la periodicidad de los ceros. Pueden existir primos con dos unos iniciales y el resto ceros hasta el último uno. Los hemos buscado con hoja de cálculo y aparecieron 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209,…El primero, 7, sólo presenta los unos, 111, pero los demás son espectaculares, como 206158430209 con expresión 11000000000000000000000000000000000001.
Puedes ver los siguientes en http://oeis.org/A039687

El problema inverso de encontrar estructuras del tipo 1000000011 ya está también resuelto y publicado en http://oeis.org/A057733

Podíamos buscar otros con dos unos al principio y al final, pero me temo que sería inútil ¿no?. Ahí no hay primos.

Otras estructuras

Los siguientes primos poseen sus huecos en magnitud creciente:
3                                 11
11                               1011
68990043211             1000000010000001000001000010001001011
36064050381096011 10000000001000000001000000010000001000001000010001001011

Con la estructura simétrica de conjuntos de ceros de longitud creciente de derecha a izquierda, al menos con hoja de cálculo, sólo he encontrado el 3 y el 13.

A estos otros les llamo “primos piano”:

26417           110011100110001
422657         1100111001100000001
108199937    110011100110000000000000001

Si deseas saber el porqué, mira el teclado de un piano.

Este otro es similar, con otra visión del “teclado”:
989721526273  es un primo con estos huecos:
1110011001110000000000000000000000000001
 
Y estos otros son más simétricos:

134323393       1000000000011001110011000001
137442334721  10000000000000001100111001100000000001

¿Deseas investigar otras estructuras? Puedes probar con

Números repunits (o repunos o repitunos): No tienen huecos en el sistema binario. Busca por ahí cuáles son primos, y verás qué escasez.

Números de Carol: Sólo tienen un hueco, pero bien situado. Tampoco hay muchos primos entre ellos.

Números de Thabit: Los números del tipo 3.2ⁿ-1 se llaman números de Thabit y en el sistema de numeración binario vienen representados por las cifras 1, 0 seguidas de la cifra 1 repetida hasta terminar la expresión. Por ejemplo, el número de Thabit 786431 viene representado por 10111111111111111111. Investiga por ahí cuáles son primos.