Estudiando un tema determinado me he encontrado con esta relación que no conocía:
12+22+32+42+52+…+232+242 = 702
No sé si estará publicada ya en lgún blog, pero la presento aquí por su elegancia y por mi sospecha de que no existen casos similares, salvo el trivial 1. He buscado mediante dos métodos y no he encontrado otro cuadrado que sea suma de los K primeros cuadrados.
Si alguien conoce algo más del tema le rogaría nos lo comunicara.
¿Ocurrirá algo parecido con los números triangulares?:
1+3+6+10+15…+N(N+1)/2 = K(K+1)/2
La respuesta es afirmativa
He descubierto cuatro casos entre 1 y 100000, sin contar el trivial 1=1, en los que la suma de los primeros triangulares produce otro triangular.
El primero es 1+3+6 = 10
¿Cuáles son los otros tres?
Ya puestos a calcular, me he planteado si sumando los primeros números triangulares podremos obtener un cuadrado, o, a la inversa, si sumando los primeros cuadrados la suma será un número triangular. En ambos casos existen soluciones. ¿Sabrías buscarlas?
4 comentarios:
Pues yo tapoco sé si está publicado por alguien, pero:
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3=55^2.
En la Aritmética de Diofanto encuentro estas perlas:
"El producto por 24 de un número pentagonal aumentado en una unidad es un cuadrado cuyo lado es un séxtuple menos uno del lado del pentagonal"
Un número pentagonal se obtiene mediante P=(n(3n-1))/2=1,5,12,22,35,51,70,92,117,...
Si los multiplicamos por 24 y restamos uno, tenemos
5^2,11^2,17^2,23^2,29^2,35^2,41^2,47^2,53^2,...
"La diferencia de los cuadrados de dos números triangulares consecutivos, es un cubo".
Un triangular es
T=(n(n+1))/2=1,3,6,10,15,21,28,36,45,,....
3^2-1^2=2^3; 6^2-3^2=3^3;
10^2-6^2=4^3;15^2-10^2=5^3,...
"El óctuplo de un número triangular aumentado en una unidad, es un cuadrado".
Multiplicamos por 8 y restamos la unidad, y tenemos
3^2,5^2,7^2,9^2,11^2,13^2,15^2,17^2,19^2,...
"Todo cuadrado aumentado en 5 veces su cuarta parte, es un cuadrado".
Sea n^2: n^2+5(n^2/4)=3n/2
Para n=7: 7^2+5*7^2/4=(21/2)^2
"Todo cuadrado disminuído en tres veces su cuarta parte, es un cuadrado".
Sea n^2: n^2-3(n^2/4)=n/2
Para n=7: 7^2-3*7^2/4=(7/2)^2
¿Qué elación existe entre 3,5,6
65^2-56^2=33^2
6565^2-5656^2=3333^2
656565^2-565656^2=333333^2
¿Continuará.....?
Tome un número dela forma n(2n+1)
y empiece a dar valores a n.
Por ejemplo, para n=4, 4(2*4+1)=36
Ahora observen
36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=7230
41^2+42^2+43^2+44^2=7230
1^3+3^3+7^3+19^3=7230
¿Qué relación tiene el 7 con el 13?
1+2+3+4+5+,...+11+12+13=91
91=7*13
1^2+3^2+9^2=91 y 1+2+9=13
Por cierto, ¿os acordáis del número 2010?
4264^8+4714^8+2010^8=
2*(420.352.347.456.016)^2
Hacer caso a Antonio, investigar todo aquello que os sea desconocido.
Un saludo
Rafael de Barcelona
Muy bien, Rafael. Esto de los cubos y cuadrados es inagotable.
Gracias por tu comentario.
Esta demostrado que 70^2 es el único número que es igual a la suma de los primeros cuadrados. La demostración la publicó en 1918 G.N. Watson en Messenger of Mathematics, New Series, Vol. 48, pp. 1 - 22.
Es un famoso problema el dividir un cuadrado de 70 x 70 en 24 cuadrados de distinto tamaño
Bienvenido de nuevo a las tareas. Se te echaba de menos.
Gracias por el dato. Ya me supuse que algo tan elegante tenía que estar bien documentado. Por eso pedí ayuda, porque me sospechaba que era un caso único.
Gracias
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