Propuesta de investigación en el aula
Uno de los teoremas más elegantes de la Teoría de la Divisibilidad afirma que la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales, estos resulten primos entre sí, es decir, que no compartan divisores primos, es igual a
cuya expresión decimal aproximada es 0,6079271
Es evidente que la comprensión y demostración de este teorema sobrepasa las capacidades del alumnado de Enseñanza Media, pero se puede intentar una aproximación intuitiva al mismo. Podríamos plantearnos distintas fases de una experimentación.
Fase 1
Experimentación y cálculo
Experimentación con frecuencias y con números acotados
El teorema que presentamos contiene infinitos en su enunciado. Por una parte, la variable aleatoria usada abarca todos los números naturales. Por otra, no existe máximo en la muestra que podamos estudiar. Por eso, en el aula nos podemos restringir a números acotados (por ejemplo, los menores que 100) y a muestras pequeñas, o bien toda la población de los mismos, que en este caso equivaldría a 10000 pares de números. Al alumnado entonces hay que advertirle que estudiaremos frecuencias, no probabilidades.
Experimentación
Se pueden usar bolas del bingo (por ejemplo, cien) con reposición, e ir planteando para cada par si tienen divisores comunes o no. Se puede organizar por grupos o con toda el aula. Cada alumno o alumna copiará en su cuaderno los pares y si son primos o no, para obtener frecuencias.
Con ello obtendremos, resultados parecidos al siguiente:
Comparten divisores 79
Son primos entre sí 121
Total 200
Frecuencia relativa 0,6050
Si repetimos el experimento varias veces o acumulamos resultados de varios grupos, nos acercaremos al verdadero valor de la probabilidad para números menores que 100, cuyo valor exacto es 6087/10000 = 0,6087
Cálculo
¿Cómo podemos encontrar esa probabilidad exacta con una hoja de cálculo? Si no deseamos acudir a macros, podemos construir una tabla de doble entrada, por ejemplo de 100 por 100, y calcular la función de Excel y Calc =M.C.D(a,b) para cada par. En la imagen puede ver un fragmento de esa tabla:
Sobre esta ella aplicamos la función =CONTAR.SI(Rango de los mcd;1), para contar los valores 1, y nos resultarán 6087 sobre 10000.
Ampliación
Después, como ampliación, se pueden encargar experimentos con cotas más altas, como 200, o cálculos de la probabilidad exacta para números pequeños, como del 2 al 20.
Siempre obtendremos frecuencias o probabilidades cercanas al 0,6, con lo que el alumnado conjeturará que el verdadero valor es el 60%, por lo que en una segunda fase habrá que sacarle del error:”Esto no es tan simple”.
Un punto delicado es el de saltar a la idea de infinito, pero en estos niveles siempre haremos lo que podamos, sin forzar.
(Continuará)
Uno de los teoremas más elegantes de la Teoría de la Divisibilidad afirma que la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales, estos resulten primos entre sí, es decir, que no compartan divisores primos, es igual a
cuya expresión decimal aproximada es 0,6079271Es evidente que la comprensión y demostración de este teorema sobrepasa las capacidades del alumnado de Enseñanza Media, pero se puede intentar una aproximación intuitiva al mismo. Podríamos plantearnos distintas fases de una experimentación.
Fase 1
Experimentación y cálculo
Experimentación con frecuencias y con números acotados
El teorema que presentamos contiene infinitos en su enunciado. Por una parte, la variable aleatoria usada abarca todos los números naturales. Por otra, no existe máximo en la muestra que podamos estudiar. Por eso, en el aula nos podemos restringir a números acotados (por ejemplo, los menores que 100) y a muestras pequeñas, o bien toda la población de los mismos, que en este caso equivaldría a 10000 pares de números. Al alumnado entonces hay que advertirle que estudiaremos frecuencias, no probabilidades.
Experimentación
Se pueden usar bolas del bingo (por ejemplo, cien) con reposición, e ir planteando para cada par si tienen divisores comunes o no. Se puede organizar por grupos o con toda el aula. Cada alumno o alumna copiará en su cuaderno los pares y si son primos o no, para obtener frecuencias.
Con ello obtendremos, resultados parecidos al siguiente:
Comparten divisores 79
Son primos entre sí 121
Total 200
Frecuencia relativa 0,6050
Si repetimos el experimento varias veces o acumulamos resultados de varios grupos, nos acercaremos al verdadero valor de la probabilidad para números menores que 100, cuyo valor exacto es 6087/10000 = 0,6087
Cálculo
¿Cómo podemos encontrar esa probabilidad exacta con una hoja de cálculo? Si no deseamos acudir a macros, podemos construir una tabla de doble entrada, por ejemplo de 100 por 100, y calcular la función de Excel y Calc =M.C.D(a,b) para cada par. En la imagen puede ver un fragmento de esa tabla:
Sobre esta ella aplicamos la función =CONTAR.SI(Rango de los mcd;1), para contar los valores 1, y nos resultarán 6087 sobre 10000.
Ampliación
Después, como ampliación, se pueden encargar experimentos con cotas más altas, como 200, o cálculos de la probabilidad exacta para números pequeños, como del 2 al 20.
Siempre obtendremos frecuencias o probabilidades cercanas al 0,6, con lo que el alumnado conjeturará que el verdadero valor es el 60%, por lo que en una segunda fase habrá que sacarle del error:”Esto no es tan simple”.
Un punto delicado es el de saltar a la idea de infinito, pero en estos niveles siempre haremos lo que podamos, sin forzar.
(Continuará)
2 comentarios:
Nuevamente Antonio nos propone un desafío con 6/((pi)^2) que, como algunos ya sabreís, es el inverso de ((pi)^2)/6, límite de la serie
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+..=1,644934 que Euler descubrió allá por 1735 al dar solución a un problema planteado por Pietro Mengoli(1626-1686) contemporáneo de Descartes y al que llamaban el matemático boloñes. Este problema se conoce como "Problema de Basilea" y, en su momento, intentaron resolverlo matemáticos como Isaa Newton(1642-1727) o miembros de la familia Bernoulli, sin conseguirlo.
Como Antonio nos propone relacionar el número con la divisibilidad, con una calculadora tipo fx-570ES vamos a buscar valores a los límites de
(Suma[1/n^2,n,1,k])^(-1) con
k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Los valores resultantes son
1,4/5,36/49,144/205,3600/5269,3600/5369,176400/266681,705600/1077749, 6350400/9778141 y 1270080/1968329
Vamos a factorizar este último:
1968329=11*178939
1270080=2^6*3^4*5^*7^2
Ahora descomponemos en potencias los factores 2,3,5 y 7
2^6+2^8+2^13+2^14+2^16+2^17+2^20=
2(3^4)+2(3^6)+3^7+3^8+3^9+3^11+2(3^12)=
5^1+3(5^2)+2(5^4)+5^5+5^6+5^7+3(5^8)=
6(7^2)+6(7^3)+3(7^4)+5(7^5)+3(7^6)+7^7=1270080
Las factorizaciones de algunos denominadores son:
5269=11*479
266681 es primo
1077749=17*63397
9778141=19*514639
Dado que los numeradores tiene una factorización más sencilla, les propongo que, bien con una calculadora como la que he usado o bien con una hoja de cálculo, factoricen los números propuestos y relacionen sus resultados con las propuestas planteadas por Antonio.
Rafael de Barcelona
Gracias, Rafael.
Para los que ya sabemos algo no es algo insuperable el efectuar cálculos como los que propones. El gran reto, muy difícil, es el de lograr que el alumnado de Enseñanza Media se interese por estos temas. Yo creo que ni Diofanto lo tendría fácil con esta tarea :-)
Saludos
Publicar un comentario