miércoles, 25 de noviembre de 2009

Logaritmo entero (3)

Si deseas investigar con el logaritmo entero (función sofpr(n)) puedes usar este código en Basic para implementarlo en Excel o en Calc de OpenOffice.org. Es bastante eficiente, y similar al de encontrar todos los factores primos de un número.

Para no complicarlo no se han usado los tipos de datos.

Los comentarios van entre corchetes y en verde

Public function sofpr(n) [se declara pública para poderla usar en cualquier celda]
Dim ene,f,c,s [creación de variables]

ene=n [la variable ene recoge el argumento para preservar su valor]
f=1 [contendrá los factores primos]
s=0
[contendrá la suma de primos]

[bucle para encontrar los factores primos y sumarlos]
while ene>1 [la variable ene va disminuyendo en el algoritmo]
f=f+1 [la variable f va aumentando para buscar factores primos]

[bucle para determinar si f es factor primo y si se repite]
while ene/f=int(ene/f)
[determina si f es divisor y busca sus repeticiones]
ene=ene/f
[se divide ene entre el factor, que ya se sabe que lo es]
s=s+f [se incorpora f a la suma de primos]
wend
[fin de bucle]

wend [fin de bucle]

sofpr=s [la función sofpr recoge el valor de s]
End function

lunes, 23 de noviembre de 2009

Logaritmo entero (2)

En la anterior entrada vimos que sopfr(n)<=n, luego si buscamos el valor de sopfr(sopfr(n)), se verificará que n>=sopfr(n)>=sopfr(sopfr(n)), y si reiteramos, habremos construido una sucesión recurrente no creciente de números naturales, que tendrá un valor mínimo, que puede ser el 0, el 4, o bien un número primo que actuará como punto fijo de la sucesión. Consideraremos que la sucesión termina cuando llega a su punto fijo o al 0.

Los números primos son ya puntos fijos, por lo que su sucesión se reducirá a un valor.

Otros números necesitan más pasos, como 393, que da lugar a la sucesión 134, 69, 26, 15, 8, 6, 5.

El número 20 presenta la curiosidad de ser igual a la suma de los elementos de la sucesión: 20=9+6+5. Tienen esa propiedad otros dos números de dos cifras. Intenta encontrarlos.
El número 140 es cuatro veces mayor que los términos de su sucesión: 140 =4*(16+8+6+5). Los números 546, 616, 735 y 800 tienen una propiedad similar, pero con cocientes mayores que 4. ¿Cuáles?

(Continuará)

sábado, 21 de noviembre de 2009

Logaritmo entero (1)

Llamaremos logaritmo entero de un número natural a la suma de todos sus factores primos, contando sus repeticiones. Se suele representar por la función sopfr(n). Así, sopfr(28)=2+2+7=11, sopfr(30)=2+3+5=10, sopfr(64)=2*6=12. El valor más pequeño corresponde a sopfr(1)=0 y los máximos coinciden con los números primos, como es evidente. Aquí tienes la gráfica de esta función para los primeros números, en la que se perciben dichos máximos:


Se le llama logaritmo porque posee la propiedad aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).

Podemos estudiar tres cuestiones:

(a) La función sopfr nunca sobrepasa el valor de su argumento, es decir, n>=sopfr(n). No es difícil demostrarlo. Se da la igualdad en el número 1, el 4 y en los números primos. Después considera que si k=m*n (no necesariamente primos) y alguno de los dos factores es mayor que 2, se cumple que k>m+n. Finalmente, aplicas esta propiedad de forma reiterada a las descomposiciones en un número creciente de factores hasta llegar a los primos.

(b) Si sopfr(n) es menor o igual que n, se podrían buscar los números que son divisibles entre su logaritmo entero. No hay muchos. Sin contar los números primos, en cuyo caso la divisibilidad es en realidad una identidad, entre los 1000 primeros números sólo hay 42 que sean divisibles entre su logaritmo entero, y entre los 10000 primeros hay 201. Entre ellos sólo en un caso es además su raíz cuadrada ¿En cuál?

(c) En los casos anteriores, si sopfr(n) divide a n, y n no es primo, tampoco lo es sopfr(n) ¿Sabrías demostrarlo? El razonamiento es fácil. Sin embargo, si suprimimos la condición de divisibilidad, el logaritmo entero puede ser primo, y de hecho lo es en multitud de casos. Por ejemplo, entre los 1000 primeros, el valor 19 es el que más se repite.

(Continuará)

miércoles, 18 de noviembre de 2009

Inicio de la colección de libros Hojamat.es

Con la publicación en lulu.com del libro “OpenOffice.org Calc a tu alcance” iniciamos la colección hojamat.es, en la que se incluirán los libros procedentes de las entradas anuales de este blog, corregidas, ampliadas y con soluciones, además de algún otro procedente de nuestra experiencia en la enseñanza de las Matemáticas.



OpenOffice.org Calc a tu alcance” se puede descargar gratuitamente desde la dirección

http://www.lulu.com/product/tapa-blanda/openofficeorg-calc-a-tu-alcance/5653367

así como adquirirlo en formato de tapa blanda a un precio prácticamente de coste.

Esperamos que esta Guía de OpenOffice Calc pueda ser útil a quienes se quieran iniciar en el uso de este sofware gratuito.

En las primeras semanas de 2010 publicaremos “Hoja y números I”, que recogerá los temas de este blog publicados en la temporada 2008-09.

lunes, 16 de noviembre de 2009

CmathOOoCAS

Con este nombre compuesto acaba de aparecer una extensión muy útil para OpenOffice.org Calc, que dota a este programa de capacidades de cálculo simbólico (gracias por avisar, Goyo).

Como creo que tiene más ventajas que inconvenientes, paso a presentarla por si os interesa el tema.

Si la descargáis desde la página http://extensions.services.openoffice.org/project/CmathOOoCAS comprobaréis que, mediante la incorporación de funciones nuevas a Calc, podréis realizar cálculos de tipo simbólico, como

  • Derivación e integración: =deriver(“x*x”;”x”)
  • Cálculo con números fraccionarios, enteros largos y complejos
  • Manejo de polinomios y resolución de ecuaciones: =simplifier(“(x+2)^5”)
  • Operaciones de divisibilidad
  • etc.
Veo en ella dos inconvenientes:

(1) El idioma que usa es el francés, que para mi generación era el segundo idioma, pero la gente más joven preferirá el inglés. En realidad no es algo grave, pues bastará aprenderse el nombre de las funciones.

(2) A veces no termina totalmente las simplificaciones algebraicas. Por ejemplo, en nuestra penúltima entrada "Cuadrado más uno por cuadrado más uno" se proponía intentar resolver esta identidad para cualquier valor de n: (n2+1)(m2+1)= p2+1, y una solución es tomar m=n-1 y p=n2-n+1.

Con la calculadora Wiris, que solemos usar en este blog, la comprobación queda bastante clara:


Sin embargo, con CmathOOoCAS se queda un último paso de simplificación por dar:


A pesar de estos pequeños fallos, creo que puede ser muy interesante su uso, pues se unen las ventajas de un CAS con la organización en tablas que permite la hoja de cálculo. Ya lo iremos viendo y os lo contaremos.

viernes, 13 de noviembre de 2009

Concurrencias (1)

Quienes seguís este blog os habréis dado cuenta de nuestra preferencia por las concurrencias entre métodos, representaciones o técnicas. Ahí tenéis una:

¿Qué tiene que ver esta imagen


con esta propiedad


y con este experimento?:


Toma un número cualquiera, lo descompones en dos sumandos como quieras, y multiplícalos. Vuelve a descomponer los sumandos al azar cada uno en otros dos más pequeños y multiplícalos también. Sigue así con todos los números mayores que 1. Lo hagas como lo hagas, si sumas todos esos productos obtendrás siempre la misma suma. ¿Cuál? ¿Cómo se demuestra?

Ejemplo:

12 = 7+5 (7*5=35)
7=5+2 (5*2=10) 5=4+1 (4*1=4)
5=3+2 (3*2=6) 2=1+1 (1*1=1) 4=2+2 (2*2=4)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)

Suma = 35+10+4+6+1+4+2+1+1+1+1 = 66

12 = 6+6 (6*6=36)
6=5+1 (5*1=5) 6=3+3 (3*3=9)
5=3+2 (3*2=6) 3=2+1 (2*1=2) 3=2+1 (2*1=2)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 36+5+9+6+2+2+2+1+1+1+1 = 66

sábado, 7 de noviembre de 2009

Cuadrado más uno por cuadrado más uno

Los números de la forma n2+1 tienen una propiedad muy elegante, y es que son divisores de otros números de la forma p2+1, y además, su cociente también es del tipo m2+1, es decir, que para todo n entero, existen m y p también enteros tales que

(n2+1)(m2+1)= p2+1.

¿Sabrías encontrar los valores adecuados de m y p para cualquier valor entero de n?

Es una cuestión meramente algebraica.

Actualización

Después de recibir el comentario de Rafael me puse a buscar casos en los que p sea primo.

Vi que se verificaba la igualdad para muchos primos de varios tipos, pero no he encontrado estudios sobre ello. Si alguien sabe algo más, recibiré con gusto su ayuda.

lunes, 2 de noviembre de 2009

Cubos y gnomones (4)

Cuando ya tenía programadas las tres entradas sobre Cubos y gnomones
encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de Claudio
http://simplementenumeros.blogspot.com/


Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para ello, según lo que hemos visto en las anteriores entradas, bastaría buscar cuadrados de números triangulares tales que las diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre, por ejemplo con T102 - T52 = 452-102 y T182 - T132 =1532-782, (10-5=5 y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-102=1925.

Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es imprescindible.

Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con código Basic se encuentran fácilmente.

Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener muchos más. Es seguro que ya estarán publicados en alguna parte, pero lo que interesa es que se han encontrado con una hoja de cálculo y la comprobación, con Wiris.