sábado, 30 de mayo de 2009

Función “dígitos”

Si escribimos la serie de números 1,2,3,….N-1,N, ¿cuántos dígitos hemos escrito en el sistema decimal de numeración?

Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:

Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:

(a) Recuento simple

Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión

N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270

luego el libro tiene 270 páginas.

(b) Truco de Hoja de Cálculo

A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?

Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:

D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.

Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo

(c) Uso en el aula

Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de

* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos

Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.

¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.

sábado, 23 de mayo de 2009

Una exploración matemática

En la entrada número 120 del siempre interesante blog de Claudio se hacía una propuesta que esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es, como 144=122 y 144*2+1=289 = 172.

En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una la ley de formación para las bases an+1 = 6an – an-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.

Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…

Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.

(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado y triangular.

(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la ecuación de Pell 8x2+1=y2

(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad


Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4, 144, 4900, 166464…

(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:

yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1

o, en forma matricial:


Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…

(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?

Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.

miércoles, 20 de mayo de 2009

La mitad, cuadrado, el tercio, cubo

Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos descomposiciones:

N= 2n2 = 3m3

siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)

Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.

Una solución es N=41472, pero existe otra menor.

Si has aprendido a hacerlo, prueba con

N= 2n2 = 5m5

Una solución es un número “muy redondo”

Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que

N= 3n3 = 5m5

Quizás la primera solución tenga nueve cifras

miércoles, 13 de mayo de 2009

Vuelta a la Combinatoria

Después de varios meses tratando de números primos, cuadrados y cifras, será bueno volver a la Combinatoria. Para comenzar, esta cuestión:

Consideramos los números enteros menores que 1000, desde el 000 hasta el 999. Para cada uno sumamos sus cifras (sistema de numeración decimal) y obtendremos una suma S. Encuentra un valor de S para el que hay exactamente 63 números que la producen.

Tres ayudas:

Para suma S=4 hay 15 números que la producen, desde 004 hasta 400.

Para suma S=15 tendremos 69 soluciones.

Te puede ayudar este esquema de decisión, si llamas A a la primera cifra


Y una curiosidad:

Si representamos el número de soluciones para cada valor de S entre 0 y 27, nos resulta esto:



¿Te recuerda algo? No saques conclusiones precipitadas.

miércoles, 6 de mayo de 2009

Números automórficos

Los números de la primera columna de la siguiente tabla son automórficos.Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.

¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?

sábado, 2 de mayo de 2009

Comentario radiofónico

“El gobierno está actuando sobre la derivada segunda cuando asegura la protección al desempleo, pero debería actuar sobre la derivada primera, promoviendo la creación de puestos de trabajo” (Comentario de un periodista en una tertulia radiofónica- La redacción final es nuestra).

¿Cómo juzgar esta frase desde el punto de vista de las Matemáticas? La segunda parte se puede aceptar sin gran problema, pues si se crea empleo se está actuando sobre la tasa de variación del número de personas empleadas. Si tomamos como función ese número total, su derivada está relacionada con el incremento o disminución de la misma, y la creación de empleo pertenece a ese ámbito.

Más de difícil de aceptar es la primera parte. La protección al desempleado no se relaciona con la forma de evolucionar el crecimiento del empleo, porque es una acción estática. Se protege a los que ya están en situación de desempleo en un momento dado. Una idea algo malévola sería la de considerar que una excesiva protección no impulsa la búsqueda de trabajo, pero en ese caso se estaría actuando sobre esa búsqueda, y no sobre la creación de puestos de trabajo. No parece tener, pues, justificación el uso del concepto de derivada segunda en este contexto.

La derivada segunda no es bien entendida por el público en general. Por ejemplo, el concepto de punto de inflexión se confunde con el de máximo o mínimo. Si un equipo de fútbol lleva perdiendo varias semanas y comienza a ganar, se habla de que ya se ha llegado al punto de inflexión. O si la bolsa cambia su tendencia: “yo venderé cuando se produzca una inflexión”. En lugar de considerarlo como un punto de separación entre aceleraciones y desaceleraciones, se le suele situar entre crecimientos y decrecimientos, y no es el mismo concepto.

El estudio de las diferencias segundas (o las derivadas) y las tasas de variación calculadas a partir de los datos de una tabla es muy enriquecedor, pero la experiencia nos demuestra que es un tema con frecuencia difícil de entender. Hace unos meses, en un debate político, se presentó un gráfico que recogía la evolución del precio de la vivienda. Era parecido a este:


Se mostró de forma tan rápida que la mayoría de los espectadores sacó la impresión de que se quería indicar que la vivienda había comenzado a bajar de precio en el año 2005, cuando en realidad se trataba de un gráfico de diferencias, y lo que se había producido en ese año era una desaceleración en la subida de los precios.

En este gráfico sí había un punto de inflexión, pero por la forma de presentarlo se interpretó como un máximo, con lo cual parecía que el candidato estaba mintiendo, ya que era claro que en ese año el precio de la vivienda no había parado de crecer. No mentía, el gráfico contenía datos reales, pero los asesores tuvieron la habilidad de sugerir una idea errónea in faltar a la verdad. Bastó para eso confeccionar un gráfico de diferencias en el precio en lugar de usar el valor real del mismo.