miércoles, 29 de abril de 2009

Dándole vueltas (4)

En un tomo de la colección “La tortuga de Aquiles” hemos encontrado el siguiente problema:

Determinar todos los números N de tres cifras que tengan la propiedad de ser divisibles por 11 y que N/11 sea igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de N

Es un problema complicado, por lo que, con un poco de humor, recorreremos varias opciones de resolución según el ánimo que nos dejen los primeros intentos:

Método directo: Sea N=100a+10b+c, luego se cumplirá que
N=100a+10b+c = 11(a2+b2+c2)

Después de simplificar esto un poco, intentar eliminar alguna variable aprovechando el criterio de divisibilidad entre 11 y seguir un desarrollo tremebundo de tipo algebraico, se desemboca en dos discriminantes de ecuaciones de segundo grado que han de ser cuadrados perfectos, y ¡oh maravilla!, descubrimos las dos soluciones.

Con ayudita: El mismo método anterior desemboca mejor en esos discriminantes si consideramos que los múltiplos de 11 de tres cifras sólo pueden tener estas dos expresiones:
a(a+b)b si a+b<10>=10 (Nos referimos a expresión decimal y no a un producto)

Seguimos el método anterior, pero ya tenemos eliminada una variable. Se desemboca básicamente en los dos mismos discriminantes que en el anterior.

Sin Álgebra: Si lo anterior nos asusta, podemos emprender una búsqueda (buena para un cálculo mental mientras paseamos. Así lo resolvimos hace días).

¿En qué terminarán esos números? Expresemos como 10a+b el número N/11 y sólo buscaremos entre 10 y 90.

Si b=9,8,7,6 es fácil ver que no hay solución, porque 10a+b ha de ser mayor que el cuadrado de b, y si a+b<10, b="5,4,3">=10 (¿Por qué?) Quizás encontremos alguno terminado en 5,4 ó 3.

Si b=2,1,0, caliente, caliente…

Con hoja de cálculo: ¡Ya salió la hoja! Era inevitable que hablara de ella, pero el blog va de esto.

Una búsqueda sistemática se puede organizar creando una columna con los números que van desde 10 hasta 90, multiplicándolos por 11 en otra columna paralela. Después se descomponen estos últimos en sus tres cifras (¿cómo?) y finalmente se calcula la suma de sus cuadrados y se comparan con la primera columna.

Aquí tienes las primeras pruebas:



Apúntate a un método o dos y encuentra las dos soluciones.¡Suerte!

jueves, 23 de abril de 2009

Algoritmo derivado de un problema (2)

Una de las características más elegantes de las Matemáticas es la concurrencia de resultados procedentes de métodos muy distintos. Basta recordar, por ejemplo, las demostraciones que existen del teorema de Pitágoras procedentes de planteamientos muy variados.

En la entrada anterior considerábamos un algoritmo que resolviera este problema:

Encontrar un número entero que termine en 6, y que si esa cifra 6 se mueve hasta situarse delante del resto del número el resultado equivale a multiplicar ese número por 4: 6abc..de=4*abc..de6

Hoy intentaremos un planteamiento más algebraico. En lugar del 6 consideraremos cualquier cifra a entre 2 y 9 (el 0 y el 1 dan casos triviales) y llamaremos b al número formado por el resto de cifras. Así, el número que debemos buscar se puede expresar como 10b+a. Llamemos N al factor por el que hay que multiplicar ese número. Si se cumplen las condiciones del problema se podrá escribir

N(10b+a) =10xa+b, siendo x el número de cifras de b

Despejando: (10N-1)b=(10x-N)a

Serán soluciones del problema (no todas) las procedentes de la condición de que 10N-1 sea divisor de 10x-N, que estará formado por varios 99…9 seguidos de la cifra 10-N.

Podemos ir probando los valores de N, con lo que 10N-1 irá teniendo el valor de 9,19,29,…89, y deberán ser divisores de 10x-N. Es fácil programarlo en una hoja de cálculo. En la siguiente tabla se han descubierto tres posibilidades (si siguiéramos encontraríamos más)


El primer 1 corresponde a N=4 y expresa que 99996 es divisible entre 39. Si multiplicamos su cociente 2564 por las distintas cifras, nos resultarán valores de b, y por tanto soluciones del problema: 102564*4 = 410256; 128205*4 = 512820; 153846*4 = 615384 (Esta es la solución para el enunciado de arriba). Intenta encontrar más.

El segundo 1 nos da otras soluciones con más cifras: 99999999996/39=2564102564, que al multiplicar por a y añadirle una cifra nos devuelve más soluciones, por ejemplo:

128205128205*4 = 512820512820

Prueba a obtener soluciones del último 1, que corresponde a N=8

Este método no agota las soluciones, pues 10N-1 puede tener factores comunes con a que alteren las condiciones, pero ya está bien por hoy.

jueves, 16 de abril de 2009

Algoritmo derivado de un problema


2758620689655172413793103448 * 3=8275862068965517241379310344

¿Qué tiene de particular este resultado?

Hace días leí en un libro de problemas el siguiente:

Encontrar un número entero que termine en 6, y que si esa cifra 6 se mueve hasta situarse delante del resto de las cifras del número, el resultado equivalga a multiplicar ese número por 4:  6abc..de=4*abc..de6

Un caso similar es el número 205128, que si movemos el 8 a la primera posición 820512 el resultado equivale a cuatro veces el primitivo: 205128*4=820512

¿Cuál es la forma más rápida de resolver este tipo de problemas?

 Intenté analizarlo por la parte izquierda, y aunque llegué a alguna solución, vi que resultaba mucho más eficiente trabajar por las unidades, después las decenas, etc. En efecto, si las unidades son 6, al multiplicar por 4 han de resultar 4 unidades. Luego el número termina en 4. Por un razonamiento similar, las decenas han de valer 8 (4*4+2=18), las centenas…seguí así hasta encontrar la solución. ¿Puedes encontrarla tú?

Este razonamiento se puede convertir en un algoritmo, en el que dada la cifra de las unidades (la que ha de moverse) y el número a multiplicar te devuelva el resultado, si es que existe. El problema es que hay que darle dos condiciones de parada, y que puede no acabar nunca. Si lo implementamos en hoja de cálculo el límite es el número de filas o columnas.

Si te animas a encontrar un procedimiento de resolución e incluso a convertirlo en algoritmo, intenta conseguir resultados tan espectaculares como el que encabeza esta entrada. 

Aquí tienes otro resultado del algoritmo


Equivale a encontrar que 1304347826086956521739 * 7=9130434782608695652173

¿Existirán datos que produzcan algoritmos sin parada?

domingo, 12 de abril de 2009

Pasatiempo para usar en el aula

Hoy presentamos un pasatiempo tomado del libro “Estimula tu inteligencia natural”, de Bragdon y Fellows. Es sencillo adaptarlo a hoja de cálculo y usarlo en el aula, y por eso tiene un sitio en este blog.

Es un pasatiempo fácil, pero que hace pensar y a veces se complica. Consiste en descubrir la pauta de cálculo que siguen las cuatro filas de una tabla numérica y aplicarla a encontrar el valor adecuado que ha de tener la celda que contiene la interrogación.


Los resultados de la última columna se obtienen a partir de las dos primeras y de un número desconocido mediante las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Hay que adivinar dos operaciones y el número desconocido. En la tabla de la imagen, la operación es A*B-9, y por tanto el valor que ha de situarse en el interrogante es 9.

Aunque es un pasatiempo sencillo, en él se desarrollan tres habilidades fundamentales:

(a) Descubrimiento de regularidades
(b) Análisis de la relación entre resultado y datos. Estudiando las variaciones de estos y su influencia en los resultados, se puede conjeturar qué operaciones han intervenido.
(c) Uso de las operaciones inversas para descubrir el dato que falta.

Como es costumbre en este blog, no se indica ni nivel de enseñanza ni el momento de uso de este pasatiempo en clase.

Para quienes deseéis practicar con él, en la página http://www.hojamat.es disponéis de la versión en OpenOffice.org Calc y en Excel 2003.

sábado, 4 de abril de 2009

Nidos de primos

Hace unos días se me ocurrió averiguar cuántos números primos se pueden generar permutando conjuntos determinados de cifras. Les llamé “nidos de primos”. Con una hoja de cálculo emprendí la búsqueda para estudiar el máximo número de primos que se puede generar. No tuve en cuenta la cifra 0 para que no cambiara el número de cifras, pero es otra búsqueda que se puede realizar con facilidad. Encontré lo siguiente:

Conjuntos de dos cifras: Con éstos no había que probar nada. El máximo de primos generados es 2, como en el caso de 13 y 31.

Tres cifras: Aquí me fallaron algunos candidatos que parecían idóneos, como el 137, y los conjuntos de cifras que producen más primos resultan ser 149, 179 y 379, que forman 4 primos cada uno. Por ejemplo, 1, 4 y 9 generan 149, 419, 491, y 941. Me llamó la atención que nunca se generaran seis. Puedo haber saltado alguno.

Cuatro cifras: Aquí hay dos conjuntos con número máximo de primos. Forman exactamente 11 primos, y son 1237 y 1279. Es curioso que la cifra 2 entre a formar parte de los dos conjuntos que forman más primos.

Cinco cifras: Aunque mi búsqueda no ha sido totalmente exhaustiva, creo que el máximo número de primos lo engendra el conjunto 13789, que permite formar 39 primos, seguido de 13459 con 37 y 12379 con 36. Creo que no hay ninguna generación con más primos.

Es instructivo el estudio de los cocientes entre el número de primos generado y el de permutaciones de los conjuntos:

2/2!=1; 4/3! = 0,6667; 11/4! = 0,4583; 39/5! = 0,325

Podemos compararlos con los cocientes entre los primos menores o iguales a 10, 100, 1000,.. y esas mismas cantidades:

4/10=0,4; 25/100=0,25; 168/1000= 0,168; 1229/10000=0,1229

Observamos que ambas son decrecientes y muy cercanas a progresiones geométricas de razón similar, como se ve en los cocientes entre cada elemento y su anterior:

0,6667/1 = 0,6667 y 0,25/0,4 = 0,625
0,4583/0,6667 = 0,6875 y 0,168/0,25 = 0,672
0,325/0,4583 = 0,7091 y 0,1229/0,168 = 0,7315

Esto indica que ambos están relacionados de alguna forma con la distribución de números primos.

Aquí detuve la búsqueda, porque la hoja de cálculo se lentifica pronto. Si alguien emplea programas más potentes puede seguir con números más altos de cifras.