sábado, 30 de agosto de 2008

Propuestas en ramas (I)

Iniciamos la metodología de "propuestas en ramas" con una colección de propuestas derivadas de un teorema contenido en el libro “Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:

“El número total de puntos de un juego completo de dominós jamás es igual al cuadrado de un número entero”

A veces una propuesta sencilla da lugar a múltiples preguntas. El papel del matemático es el hacerse esas preguntas, aunque no sepa responderlas. En este caso nos podríamos plantear: ¿A qué llamamos dominó de n números? ¿Cuál es la fórmula que nos da el número de fichas? ¿Y el número de puntos? ¿Por qué Lucas afirma que no son cuadrados perfectos?...

Lo bueno de este planteamiento es que cada vez que se responde a una cuestión aparecen otras preguntas, con lo que habremos construido un verdadero árbol con tantas ramas como nuestra imaginación conciba. En este ejemplo se abrirían múltiples ramas. Los lectores quedan invitados a recorrerlas y a inventar otras nuevas:

¿Qué es un dominó de número máximo n? (Lo nombraremos como n-dominó)

Intentar una definición formal, sin olvidar los “blancos”.

Nuestro dominó usual se corresponde con n=6 (Un 6-dominó).

Se compone de 28 fichas, con una media de 6 puntos por ficha y un número total de puntos de 168 (demostrarlo)

¿Cuántas fichas y puntos presenta un n-dominó?


El número de fichas viene dado por la expresión n(n+1)/2 y el de puntos por n(n+1)(n+2)/2 (demostrarlo).

¿Es cierta la afirmación de Lucas?

Intenta demostrarla considerando cómo se reparten los factores primos del cuadrado perfecto entre los factores n(n+1)(n+2)/2

(Continuará otro día)

De una afirmación simple hemos derivado multitud de cuestiones. Unas sabremos demostrarlas, y otras tendrán que quedarse en conjeturas, pero su estudio constituirá una verdadera aventura matemática.

En otro momento propondremos esta metodología para hojas de trabajo en Enseñanza Secundaria.


jueves, 21 de agosto de 2008

Blanco y negro

Un problema de Combinatoria muy interesante es el siguiente:

¿De cuántas formas se puede colorear un tablero de ajedrez usando sólo los colores blanco y negro, de forma que cada cuadrado del mismo, de dos casillas de lado, contenga dos de ellas coloreadas en blanco y las otras dos en negro?

Para encontrar la solución puedes considerar las formas de rellenar de color la primera fila y cómo influye su contenido en las demás filas de más abajo, cumpliéndose la condición de que cada cuadrado de 2 por 2 contenga dos casillas blancas y dos negras.

Aquí la hoja de cálculo sólo te puede ayudar a visualizar cada situación, como puedes observar en la imagen adjunta. Puedes usar el comando “Deshacer” para ir viendo posibilidades

¿Cuántas formas de colorear pueden existir?

La clave la tiene la primera fila (o primera columna, según como desees trabajar), según sus colores estén totalmente alternados o no. La solución es que hay 510 formas de colorear.

¿Cómo se obtiene la solución?

martes, 19 de agosto de 2008

Una propuesta del Espejo lúdico

En la entrada del blog "Espejo lúdico" (http://espejo-ludico.blogspot.com/) de fecha 18 de agosto de 2008, se presenta la siguiente propuesta:

Aprovechando las cifras

Buscar números tales que entre su cuadrado y su cubo se utilicen todas las cifras (del 0 al 9) y una sola vez cada una.
Por supuesto, si ya lo conoces, te agradecemos que no lo reveles, y también se agradecen tanto razonamientos para encontrarlos como el no uso de Hoja de Cálculo.
Adaptado de "Nuevos divertimentos matemáticos" de Mariano Mataix

Podríamos darle la vuelta a esta propuesta, y en lugar de aconsejar que no se use la hoja de cálculo, promover su uso, y de manera más fuerte, exigiendo que sea la propia hoja, sin ayuda nuestra, quien encuentre la solución. Evidentemente, en ese caso el objetivo es algorítmico, y no los razonamientos matemáticos que pedía el Espejo Lúdico.

¿Te atreves a crear una "trampa automática" en la que caigan los números que cumplan la condición exigida?



Para conseguirlo puedes plantear las siguientes operaciones de hoja de cálculo

(1) El cuadrado y el cubo del numero a probar se descomponen en cifras, una por celda (zona verde de la imagen). Es el primer problema a resolver.
(2) Se construye una tabla con las cifras del 0 al 9 y se cuenta el número de veces que cada una aparece tanto en el desarrollo en cifras del cuadrado como del cubo. (zona amarilla)
(3) La celda de "Se cumple" o "No se cumple" examina los contadores, y si todos presentan el valor 1 (¿cómo se averigua eso en una sola operación?) da por válido el número.
(4) Se va probando, de forma manual o automática (mediante un bucle con ayuda de macros) en un rango de búsqueda, y se espera a que aparezca el número probado como válido. Esto ocurre muy pronto.

¿Te atreves a construir algo similar?

martes, 12 de agosto de 2008

Presentación

Como habréis leído en la presentación, este blog tratará de números y hojas de cálculo. Los primeros se estudiarán dentro de los cuatro apartados incluidos en mi página web http://www.hojamat.es : Aritmética, Combinatoria, Congruencias y Divisibilidad, es decir, capítulos de Matemática Discreta. Se podrán tratar también números racionales, pero evitaremos los conceptos de límite y las referencias al infinito, que tienen mejor acomodo en otras páginas y blogs. En algún momento se podrán incluir temas de Estadística.

Podremos considerar cuestiones sobre números sin el uso de las hojas de cálculo, y también otras que relacionen a ambos. Con menos frecuencia, incluiremos temas que sólo afecten a las hojas de cálculo, pero siempre en relación con alguna cuestión numérica. No se pretende crear una serie de trucos de Excel o de OpenOffice.org Calc, sino integrar algunas reflexiones sobre sus prestaciones numéricas, de creación de tablas y de gráficos.

Este blog no tiene planificación previa. Cada entrada podrá tener una extensión, orientación o temática distinta de las anteriores. Su contenido será fruto de alguna lectura, cualquier observación del entorno o alguna sugerencia recibida. Con ello se pretende preservar su frescura y abrirlo a la sorpresa.

Nuestra cordial bienvenida a quienes nos visiten.