Dándole vueltas (4)

En un tomo de la colección “La tortuga de Aquiles” hemos encontrado el siguiente problema:

Determinar todos los números N de tres cifras que tengan la propiedad de ser divisibles por 11 y que N/11 sea igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de N

Es un problema complicado, por lo que, con un poco de humor, recorreremos varias opciones de resolución según el ánimo que nos dejen los primeros intentos:

Método directo: Sea N=100a+10b+c, luego se cumplirá que
N=100a+10b+c = 11(a²+b²+c²)

Después de simplificar esto un poco, intentar eliminar alguna variable aprovechando el criterio de divisibilidad entre 11 y seguir un desarrollo tremebundo de tipo algebraico, se desemboca en dos discriminantes de ecuaciones de segundo grado que han de ser cuadrados perfectos, y ¡oh maravilla!, descubrimos las dos soluciones.

Con ayudita: El mismo método anterior desemboca mejor en esos discriminantes si consideramos que los múltiplos de 11 de tres cifras sólo pueden tener estas dos expresiones:
a(a+b)b si a+b<10>=10 (Nos referimos a expresión decimal y no a un producto)

Seguimos el método anterior, pero ya tenemos eliminada una variable. Se desemboca básicamente en los dos mismos discriminantes que en el anterior.

Sin Álgebra: Si lo anterior nos asusta, podemos emprender una búsqueda (buena para un cálculo mental mientras paseamos. Así lo resolvimos hace días).

¿En qué terminarán esos números? Expresemos como 10a+b el número N/11 y sólo buscaremos entre 10 y 90.

Si b=9,8,7,6 es fácil ver que no hay solución, porque 10a+b ha de ser mayor que el cuadrado de b, y si a+b<10, b="5,4,3">=10 (¿Por qué?) Quizás encontremos alguno terminado en 5,4 ó 3.

Si b=2,1,0, caliente, caliente…

Con hoja de cálculo: ¡Ya salió la hoja! Era inevitable que hablara de ella, pero el blog va de esto.

Una búsqueda sistemática se puede organizar creando una columna con los números que van desde 10 hasta 90, multiplicándolos por 11 en otra columna paralela. Después se descomponen estos últimos en sus tres cifras (¿cómo?) y finalmente se calcula la suma de sus cuadrados y se comparan con la primera columna.

Aquí tienes las primeras pruebas:



Apúntate a un método o dos y encuentra las dos soluciones.¡Suerte!