Repitunos y progresiones geométricas

Existen números, como el 31, que equivalen simultáneamente a dos o más sumas distintas de las primeras potencias de un número natural. En este caso son:

31=1+2+4+8+16
31=1+5+25

Estas igualdades se pueden interpretar como que 31 tiene como expresión un “repituno” en las bases 2 y 5:

31(10 = 11111(2 = 111(5

Ya he usado estos números en entradas antiguas, pero hoy buscaremos los que, como el 31, presentan esta propiedad en dos o más bases distintas.

Equivalencia de sumas de primeras potencias

Este tema se puede tratar de forma algebraica, pero parece preferible la algorítmica, porque además de descubrir qué números son de este tipo se pueden contar las sumas a las que equivalen. Usaré esta función:

Function essumapot$(n) ‘Función string

Dim tope, i, k, m, r

Dim s$

 

tope = Int((Sqr(4 * n - 3) - 1) / 2) ‘Este tope se basa en el caso a=2

r = 0 ‘Número de soluciones

For i = 2 To tope ‘Posibles bases de potencias

k = 1 ‘Primer exponente a probar

m = 1 + I ‘Primera suma de potencias

Do Until m > n

k = k + 1 ‘Siguiente exponente

m = m + potencia(i, k) ‘Siguiente suma

If m = n Then s = s + " # " + ajusta(i) + ", " + ajusta(k): r = r + 1 ‘Hay una solución

Loop

Next i

If s <> "" Then s = ajusta(r) + " ## " + s ‘Se construye la solución

essumapot = s

End Function

 

Con esta función se determina qué números son “repitunos” en alguna base y de cuántas formas. Los primeros detectados son estos:

Se observa que el 31 es suma de potencias de 2 hasta la cuarta y del 5 hasta el cuadrado, como ya sabíamos. La inclusión del número de soluciones al principio nos facilitará las búsquedas.

Están publicados en  https://oeis.org/A053696

Todos son “números brasileños”, como puedes comprobar en la entrada de este blog dedicada a esos números.

https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=brasile%C3%B1os

Lo que nos interesa aquí es la existencia de soluciones múltiples, como en el caso del 31. Bastará buscar las soluciones en las que el primer carácter tenga un valor superior a 1.

Tal como se podía sospechar por anteriores trabajos sobre temas afines, sólo se encuentran dos soluciones, 31 y 8191, ambos primos de Mersenne (31=2^5-1 y 8191=2^13-1. No existen más entre los números menores de 2^44.

Puedes ampliar el tema en https://oeis.org/A119598

Progresiones geométricas múltiples

Estos dos números, 31 y 8191 pueden sea base para encontrar los primeros elementos de progresiones geométricas con el mismo término inicial. Basta elegir un múltiplo de cualquiera de ellos dos.

Por ejemplo, elegimos 31 por 13, es decir, 403. Tomamos 13 como término inicial de una progresión geométrica, y desarrollamos 31 de dos formas distintas, como ya sabemos:

403=13*31=13*(1+2+4+8+16)=13+26+52+104+208

403=13*31=13*(1+5+25)=13+65+325

Hemos expresado el 403 como suma de dos progresiones geométricas. Podemos efectuar idénticas operaciones con múltiplos de 8191. Por tanto:

Existen infinitos números naturales que se pueden expresar como dos sumas distintas de progresiones geométricas con el mismo término inicial.

 
Coincidencia de dos progresiones en general

Si eliminamos la condición de igualdad del término inicial en las progresiones geométricas, el problema sería totalmente distinto, con muchos más parámetros a considerar. En mis cálculos diarios encuentro muchos casos de varias progresiones geométricas que coinciden en su suma. Si quieres experimentar, esta función detecta estas progresiones para razones entre 2 y 9

Function pg$(n) 'Es suma de una o más progresiones geométricas

Dim i, j, a, s

Dim ss$

 

ss = "" ‘Contenedor de soluciones

For i = 2 To 9 ‘Razón de la progresión

j = 1

s = 1 ‘Inicios

While j < 10 And s <= n

s = s + i ^ j ‘Se suma la progresión

a = n / s ‘Posible inicio de la progresión

If a = Int(a) And j > 1 Then ss = ss + "##" + Str$(j + 1) + " sumandos " + Str$(i) + " razón " + Str$(a) + " Inicio"

j = j + 1 ‘Número de sumandos

Wend

Next i

pg = ss

End Function

Con él se pueden detectar sumas múltiples para cualquier número, si es que existen. Por ejemplo, el número 1001 es suma de tres progresiones geométricas distintas:

1001 ## 3 sumandos  2 razón  143 Inicio## 3 sumandos  3 razón  77 Inicio## 3 sumandos  9 razón  11 Inicio

En efecto:

1001=143+143*2+143*4
1001=77+77*3+77*9
1001=11+11*9+11*81

Es claro que cambia el término inicial en cada suma.

Números triangulares impares

En una entrada de este blog se han estudiado los triangulares de orden par, en contraposición a los de impar, que resultan ser también hexagonales

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/09/triangulares-de-lado-par.html)

Era una entrada interesante, pero ahora nuestro interés no está en el orden (o lado), sino en la paridad del mismo triangular. En concreto estudiaremos los de carácter impar, que presentan curiosidades atractivas. Los primeros triangulares impares son 1, 3, 15, 21, 45, 55, … 

Están publicados en https://oeis.org/A014493. Aquí estudiaremos también otros aspectos de estos números que no están contemplados en esa sucesión.

Caracterización de estos números

Para descubrir si un número cualquiera es triangular impar bastará unir ambas exigencias. Un número N se caracteriza fácilmente como triangular con la condición de que 8N+1 sea cuadrado, y el ser impar con N MOD 2 = 1 (existen otras condiciones equivalentes).

Así en PARI podremos usar la función

es(n)=issquare(8*n+1)&&n%2==1

Con nuestras funciones para Excel, podría quedar

ES(N)=Y(ESCUAD(8*N+1);RESIDUO(M;2)=1)

Existen muchas variantes.

Nuestro Buscador de Naturales los encuentra fácilmente

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)

Han bastado las condiciones TRIANGULAR y NO PAR.

Distribución

Un número triangular N(N+1)/2 es impar cuando su factor N o el N+1 son pares del tipo 4k+2 o 4k-2, es decir, que son múltiplos de 2 pero no de 4, mientras el otro factor consecutivo será impar. Así, al dividir entre 2 el producto N(N+1) el resultado será impar, porque el producto poseerá el factor 2 sólo una vez, y se simplificará. Así ocurre con el 15, que proviene de 5*6/2, y como el 6 no es múltiplo de 4, se simplificará entre 2 quedando un impar: 5*3=15

Por conveniencia de comenzar en el 1, elegiremos 4k-2 como factor par, por lo que los triangulares impares se formarán con uno de estos dos productos:

(4k-2)(4k-1)/2=(2k-1)(4k-1)

(4k-2)(4k-3)/2=(2k-1)(4k-3)

Esto, en la práctica, produce un emparejamiento de dos triangulares impares, como son 1 con 3, 15 con 21 o 45 con 55. El orden del primer elemento será del tipo 4k-2 o 4k-3 (o bien, si se prefiere, 4m+1 o 4m+2)

Los triangulares impares se presentan en grupos de dos consecutivos, y comparten un mismo factor (el (4k-2)/2=2k-1). El orden del primero será 4k-3 y el del segundo 4k-2

Un ejemplo de lo anterior lo tenemos en el par de triangulares consecutivos 91 y 105, que comparten el factor 7: 91=7*13 y 105=7*15. El 7 proviene de 2k-1, siendo k el número de orden del par de triangulares, que en este caso sería 4, luego 7=2*4-1. El orden general del 91 será 4*4-3=13 y el del segundo, 105, 4*4-2=14

Si sumamos los dos elementos del par nos resulta un cuadrado, como ocurre en todos los triangulares, pero aquí le damos otra justificación:

(2k-1)(4k-1)+(2k-1)(4k-3)=(2k-1)(8k-4)=2²(2k-1)²=(4k-2)²

Así, tenemos que 1+3=4=2², 15+21=36=6², 45+55=100=10², 91+105=196=14²

Estudio algebraico

Seguimos llamando k al número de orden del par, y usaremos la variable n para el número de orden propio del triangular estudiado y N al orden general del triangular. De esta forma quedará esta identidad, que resume lo expuesto anteriormente:

T(n)=(2k-1)(4k-2+(-1)ⁿ)                

Si k es el orden del par, n es el orden dentro de los triangulares impares y N el orden general como triangulares

En el primer elemento del par n=2k-1 y N=4k-3 y k=(n+1)/2

En el segundo elemento n=2k y N=4k-2 y k=n/2

Por ejemplo:

En el 45 k=3, n=2*3-1=5, N=4*3-3=9

En el 55 k=3, n=2*3=6, N=4*3-2=10

En el 91 k=4, n=2*4-1=7 y N=4*4-3=13

En el 105 k=4, n=2*4=8 y N=4*4-2=14

Partiendo de la igualdad T(n)=(2k-1)(4k-2+(-1)ⁿ) tendremos:

Si N es impar k=(n+1)/2

T(n)=(2*(n+1)/2 -1)(4(n+1)/2-3)=n(2n+2-3)=n*(2n-1)

Estos triangulares serán también hexagonales, pues la fórmula de estos es l(2l-1)

(ver mi publicación

https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf)

Si es par, k=n/2

SI N es par: T(n)=(n-1)(2n-2+1)=(n-1)*(2n-1)

Las dos expresiones de pueden unificar:

T(n)=(2n-1)(2n-1-(-1)ⁿ)/2

Esta expresión interna al conjunto de los triangulares impares nos permite sumar los primeros, por ejemplo. La he usado con mi función SUMAFUN para demostrar que el número 10425 es la suma de los 25 primeros:

 10425=sumafun(1;25;"(2*x-1)*(2*x-1-(-1)^x)/2")

 Triangulares pares

No estaría este estudio completo si no se confrontaran los triangulares impares con los pares. Con todo lo estudiado hasta ahora, es fácil de comprender que triangulares pares habrá de dos tipos, alrededor de un múltiplo de 4, condición para que no se simplifique el factor 2. Así que existirán dos tipos de triangulares pares:

T(k)=4k(4k+1)/2=2k(4k+1) El orden de este triangular será N=4k

T(k)=4k(4k-1)/2=2k(4k-1) Su orden será 4k-1 o tipo 4k+3

Así ya tenemos completos los triangulares, pues los de orden tipo 4k+1 y 4k+2 serán impares, y los de 4k y 4k+3, pares. Según lo visto anteriormente, la mitad de cada grupo corresponderá también a números hexagonales.

Formas de acceder a un par de primos gemelos

Uno de los conceptos más populares en Teoría de números es el de primos gemelos. Generalmente se consideran de ese tipo dos números primos impares que se diferencian en dos unidades, como (5, 7) o (17, 19). La forma más sencilla de llegar a ellos, a partir del  (5, 7), es buscar pares del tipo (6n-1, 6n+1), porque son los únicos en los que ambos elementos pueden ser primos, salvo (3, 5). En esta entrada buscaremos otras rutas en las que podemos encontrar esos pares de primos de forma más o menos casual.

Búsqueda directa con 6n-1 y 6n+1

Si deseamos encontrar primos gemelos en un rango dado, bastará recorrer los múltiplos de 6 y averiguar si sus números vecinos son ambos primos. Es algo muy sencillo, y si se incluye aquí es por comenzar con lo más directo. Con esta rutina en VBasic de Excel podemos encontrar los pares de primos gemelos incluidos en cualquier rango y en la primera hoja, si escribimos los extremos de ese rango en las celdas J1 y J2 respectivamente:

 

Sub gemelos()

Dim n, fila, a, b

Dim r$

 

a = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(1, 10).Value ‘Se lee el rango

b = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(2, 10).Value

fila = 3 ‘Fila de inicio

n = a - a Mod 6+6 ‘Se busca un múltiplo de 6

Do While n <= b ‘Se avanza entre los múltiplos de 6

If esprimo(n - 1) And esprimo(n + 1) Then ‘Los números vecinos son primos

r = Str$(n - 1) + ", " + Str$(n + 1) ‘Se imprime una solución

fila = fila + 1 ‘Siguiente fila

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 10).Value = r

End If

n = n + 6 ‘Siguiente múltiplo de 6 

Loop

End Sub

En la siguiente imagen podemos observar los pares de primos gemelos entre 3000000 y 3001000. El proceso es muy rápido, aunque el rango abarca mil números.

Con esto se da por terminado este tipo de búsqueda directa. Vemos otros caminos más enrevesados.

A través de un múltiplo de un primo

Existen muchas sucesiones en OEIS (Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros) en las que unos números primos, multiplicados por un múltiplo de 6 dan lugar a un par de primos gemelos. Es una búsqueda que relaciona tres números primos y algo más compleja que la anterior.

Por ejemplo, vemos los primeros pares engendrados por el número primo 13 y los múltiplos de 48*13:

Una variante sería usar una expresión sobre un número primo, como por ejemplo, todos los pares de números primos gemelos formados a partir de la expresión p³-p, donde p es un número primo. Cambiando un poco la rutina se consiguen:

Los valores de esos primos, 2, 11, 31, …están publicados en https://oeis.org/A158295

Podríamos inventar muchas variantes de este tipo, pero no aportarían mucho.

 

Mediante una concatenación

Aquí pasamos a otras curiosidades. Por ejemplo, comenzamos con un caso que ya está publicado, que consiste en concatenar 2n con 2n-1 y también 2n con 2n+1, y averiguar si ambas concatenaciones constituyen un par de primos gemelos. Como el proceso es rápido, no nos preocuparemos de que el número intermedio sea múltiplo de 6.

La siguiente sencilla función usa la concatenación de Excel, que consiste simplemente en el uso del signo “+” entre cadenas de texto:

Function concat_gem$(n)

Dim a, b

Dim s$

 

s = ""

‘Las siguientes líneas concatenan las expresiones numéricas en modo texto, para después volver a modo numérico con la función VAL. Esas líneas se cambiarán cuando se desee otra concatenación.

a = Val(Str$(2 * n) + Str$(2 * n - 1))

b = Val(Str$(2 * n) + Str$(2 * n + 1))

If esprimo(a) And esprimo(b) Then s = Str$(a) + ", " + Str$(b) Else s = "NO" ‘ Si ambas concatenaciones producen primos gemelos, se comunica mediante la variable s.

concat_gem = s

End Function

 

Con esta función reproducimos la lista publicada en https://oeis.org/A102478

 

No abarcaríamos aquí las posibilidades de concatenaciones curiosas sobre este tema. La siguiente tabla recoge algunos primos gemelos de cinco cifras provenientes de concatenar un número consigo mismo:

 

Con ello los gemelos se forman con el número, su siguiente y su anterior.

Si usamos el lenguaje PARI podemos intentar este código para el mismo caso, fácilmente adaptable a otros:

concat_gem(n)=my(a,b,v=[0,0]);a=eval(concat(Str(n),Str(n-1)));b=eval(concat(Str(n),Str(n+1)));if(isprime(a)&&isprime(b),v=[a,b];print1(v));v

for(i=1,1000,if(concat_gem(i)<>[0,0],print(" ",i)))

Esta versión nos daría los primeros casos:

Por la forma de programarlo, el valor de N aparece al final.

Podemos seguir jugando. En los siguientes hemos concatenado N con su simétrico en cifras:

Con estos ejemplos se adivina que quedan muchas posibilidades por explorar en la concatenación, pero serían necesarias otras funciones sobre cifras.

 Intercalando funciones

Podemos buscar una forma de encontrar primos gemelos a partir de N, pero intercalando funciones. Por ejemplo, buscando SIGMA(N)±1:

Observamos que son abundantes los casos encontrados. Tienes más en https://oeis.org/A072282

Un caso curioso es aquel en el que N es primo, pues entonces SIGMA(N)=N+1, con lo que un posible primo gemelo es el mismo N, como podemos observar en la tabla con 5, 11, 17 y 29. Todos ellos tienen en común que SIGMA es múltiplo de 6.

Si exigimos que N no sea primo, nos quedan

Estos resultados figuran en https://oeis.org/A068017. Es fácil razonar que son aquellos casos en los que SIGMA(N) es múltiplo de 6. Como un valor de SIGMA puede ser compartido por varios números, es lógico que el par (71, 73) aparezca repetido.

 Objetivos dobles

Podríamos pretender encontrar un par de primos gemelos, pero que una expresión creada a partir de ellos también constituyera otro par de primos gemelos. Un ejemplo sería que n+1 y n-1 formaran par y también fueran gemelos n²+5 y n²+7, por ejemplo (buscamos en lo posible centrarnos en múltiplos de 6):

Con estos ejemplos nos podemos dar una idea de búsquedas diferentes que se pueden emprender en talleres de Matemáticas.