domingo, 10 de enero de 2010

Primo divisor de repuno

¿Sabías que todo número primo distinto de 2 y 5 es divisor de un "repunit" (o “repuno”), que es un número cuyas cifras son todas iguales a la unidad: 1111111….?

Esta propiedad no depende de la base en la que esté escrito el repunit, si ésta es prima con el número dado (ya no intervendrian el 2 y el 5). Así, 7 divide a 111111 escrito en cualquier base coprima con él. Observa estas igualdades:

111111(10 = 111111(10 = 7*15873
111111(9 = 66430(10 = 7*9490
111111(2 = 63(10 = 7*9
111111(16 = 1118481(10 = 7*159783

¿Sabías que si el número es compuesto (o primo) es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…?

Esta propiedad es independiente de la base, salvo el número de unos y ceros. Por ejemplo:

111111000(10 = 14*7936500
111111000(3 = 9828(10 =14*702
1111111000000(8 = 78536507392(10 = 14*5609750528
111111111000(2 = 4088(10 = 14*292

Publicaremos próximamente los razonamientos en los que se basan estas propiedades.

No hay comentarios: