tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post601946739021329362..comments2024-01-24T16:13:21.590+01:00Comments on Números y hoja de cálculo: ¿En cuántas sumas de cuadrados? (1 de 5)Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-58166860187528098352010-10-26T20:52:02.603+02:002010-10-26T20:52:02.603+02:00Gracias, Rafael
No te preocupes que no has adelan...Gracias, Rafael<br /><br />No te preocupes que no has adelantado entradas. El tema seguirá con el número de descomposiciones y alguna que otra curiosidad.<br /><br />Un abrazoAntonio Roldán Martínezhttps://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-43520672102155694842010-10-26T19:10:15.144+02:002010-10-26T19:10:15.144+02:00Antonio nos plantea un tema apasionante sobre qué ...Antonio nos plantea un tema apasionante sobre qué números son primos gaussianos y qué números son enteros gaussianos. Un primo gaussiano es de la forma 4k+3, esto significa de que no pueden ser representados como suma de dos cuadrados, por ejemplo el 3,7,11,19,23,31,...,43. Un entero gaussiano es de la forma 4k+1 y sí puede ser representado como suma de dos cuadrados, por ejemplo 5=2^2+1^2; 13=3^2+2^2; 29=5^2+2^2;...; 41=5^5+4^2. Estos dos conceptos están entroncados muy directamente con la factorización de los números. Supongamos que debemos factorizar el número 97. Este número es primo y de la forma 97=4k+1=4*24+1, luego es un número que sólo puede ser divisible por sí mismo y por la unidad. Pero en el año 1801 con apenas 24 años, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicó su obra Disquisitiones Arithmeticae que tuvo una importante repercusión en la teoría de los números al incorporar la factorización en los anillos Z[i] llamados dominios de integridad. Por favor, tomen esto como una ampliación del tema y no como una imposición de su desarrollo. Sigamos con la factorización del número 97. <br />97=1*97 es una factorización canónica.<br />97=(9+4i)(9-4i)=9^2+4^2 es un factorización conjugada en el anillo Z[i]<br />97=(9+4i)(4+9i)(-i)=9^2+4^2 es una factorización simétrica con unidad.<br />Esto es lo que quería demostrar Gauss al utilizar i que es el símbolo de la raíz cuadrada de (-1): el que en determinadas circunstancias no existe factorización única. <br />Pero demos un golpe de tuerca. ¿Ustedes creen que el número 97 da pié a ser representado como cuatro cuadrados? Veamos:<br />En la antigua Mesopotamia ya era conocido que un número impar podía ser representado como diferencia de dos cuadrados, esto es: <br />((n+1)/2)^2-((n-1)/2)^2=n --> ((97+1)/2)^2-((97-1)/2)^2=49^2-48^2=97<br />Pero nosotros ya sabemos que 97=9^2+4^2, luego<br />49^2=48^2+9^2+4^2<br />Que sí hombre, que sí, esto también puede ser representado como <br />7^4=48^2+3^4+2^4<br />perdona, no me había dado cuenta. <br />Lo que antecede no aporta nada nuevo, sólo un enfoque distinto al expuesto por el titular de este blog, D. Antonio Roldán Martínez.<br />Gracias Antonio por el tema. Como he dicho, es apasionante y espero no haber anticipado alguna entrada prevista de futuro. <br />Un abrazo<br />Rafael ParraAnonymousnoreply@blogger.com