lunes, 25 de abril de 2016

Función “parking”



Estudiamos hoy un tema de Combinatoria, que la teníamos un poco abandonada. Se trata de la función “parking”, o arreglos de aparcamiento. El planteamiento es el siguiente:

Imaginemos un aparcamiento de una empresa, situado en una calle estrecha, en la que no es posible dar marcha atrás, y que contiene n aparcamientos, que numeraremos de 1 a n. Podemos pensar que es el inicio de una jornada de trabajo y que suelen aparcar en ella siempre los mismos n coches.

Puede ocurrir que cada coche tenga preferencia por un determinado aparcamiento. Si llega y está libre, lo ocupa, y si no, como no puede retroceder, ocupa el siguiente que esté libre. Esto hace que no todas las preferencias de los coches sean viables. Unamos en un mismo conjunto ordenado las preferencias de los conductores. Por ejemplo, si n = 3, el conjunto ordenado (2, 1, 1)  es viable, porque el primer coche ocuparía el aparcamiento 2, su preferido. El segundo iría al 1, y el tercero, aunque prefiere el 1, ha de irse al 3, pero aparca.

El arreglo (2, 3, 2) no es válido, ya que el primer coche aparca en el 2, el segundo en el 3, pero el tercero, encuentra ocupado su preferido 2 y también el siguiente, y no puede aparcar. Vemos que una hipótesis poco creíble es que cada conductor se dirige a su aparcamiento preferido ignorando los anteriores.

Imaginemos que su empecinamiento le costaría volver a intentarlo y esta vez ocupar el 1 aunque no fuera su preferido, pero esas son las reglas de este juego.

Simulación

Hemos preparado una hoja de cálculo muy simple para que experimentes qué preferencias son válidas. La tienes alojada en la dirección

http://www.hojamat.es/blog/parking.xlsm

Basta escribir en ella dichas preferencias, ajusta el retardo en segundos para ver bien el proceso, y rellenar las preferencias. Al pulsar los botones “Vaciar parking” e “Intento”, se desarrollará, con el retardo que desees, el proceso de aparcamiento.


En la imagen puedes ver el final del proceso con unas preferencias válidas.

Todos los coches han podido aparcar.

En esta otra imagen hemos creado unas preferencias no válidas.



La plaza tercera se ha quedado vacía y el coche G no ha podido aparcar.

Llamamos coches afortunados (“lucky car”) a aquellos vehículos que aparcan donde ellos prefirieron previamente. En el ejemplo de la imagen son afortunados A, B, C, D, E y F. Si las preferencias se repiten, sólo serán afortunados algunos de los coches pretendientes a una plaza. Se llama salto (“jump”) al número de plazas que ha de desplazarse un coche si no logra su plaza preferida. Es evidente que los afortunados presentan un salto igual a cero.

Criterio de validez

Se puede razonar que una función parking es válida si se pueden ordenar las preferencias en orden creciente, y entonces, cada una de ellas es menor o igual que su número de orden. En caso contrario, si una preferencia fuera mayor, se dejaría una plaza vacía aunque entraran todos los coches, por lo que alguno de ellos quedaría fuera. En el anterior ejemplo (2, 3, 2) ordenamos de forma creciente (2, 2, 3) y observamos que no hay forma de llenar la plaza número 1, que quedaría vacía. Por el contrario, si en el orden creciente no se sobrepasa el número de orden, como en (1, 3, 1), o en orden creciente (1, 1, 3),  sea cual sea el orden de entrada, siempre habrá plaza para todos. Si el orden creciente es válido, cualquier permutación del mismo también lo será.

Con esta condición, no es difícil escribir todas las funciones válidas en su forma ordenada creciente. En el caso de 3 serían

(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 1, 3) (1, 2, 2) (1, 2, 3)

Ahora le aplicamos a cada una las permutaciones posibles, con lo que nos dará
1+3+3+3+6=16 funciones válidas distintas. Coincide este resultado con la expresión


 En este caso (3+1)(3-1)=42=16. Se puede demostrar, mediante teoría de grafos, que esta expresión es válida. En esta dirección puedes leer un esbozo de demostración

http://www-math.mit.edu/~rstan/transparencies/parking.pdf

La idea consiste en añadir otra plaza más de aparcamiento, la n+1 que dejamos vacía, y permitir a los coches otro intento. De esta forma todos aparcarán, aunque se puedan dejar una plaza vacía. El número de opciones ahora será (n+1) elementos para n plazas. El número de funciones es, por tanto, (n+1)n. Si sometemos al proceso a una traslación módulo n+1, sólo será función válida aquella que deje vacía la plaza n+1. Dividimos y queda (n+1)n.

Generación de resultados

Las funciones parking ordenadas se pueden obtener mediante construcción directa, ya que sólo hay que tener cuidado de no sobrepasar del índice i en el término a(i). Para valores de n mayores hemos usado nuestra hoja de cálculo Cartesius (no publicada en este momento). Por ejemplo, en la imagen puedes observar las 14 funciones ordenadas para n=4.



Para n=5 resultarían 42 arreglos. En general, el número de funciónes parking ordenadas coincide con los números de Catalan:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,… (http://oeis.org/A000108).

Como tales, se pueden generar con la fórmula



Por ejemplo, C(4)=1/5C(8,4)=70/5=14


jueves, 14 de abril de 2016

Volvemos a los números "arolmar" (5) - Semiprimos arolmar

Semiprimos arolmar

Esta es la quinta entrada de la serie que dedicamos a estos números de nuestra invención. Si deseas leer las anteriores basta con que señales la etiqueta “Números AROLMAR” en el blog.

Proseguimos en esta entrada el regreso a los números arolmar que emprendimos en las anteriores. En esta nos dedicaremos a estudiar los términos de la sucesión que son semiprimos. Hemos descubierto que son bastante interesantes, ya que dan lugar a propiedades curiosas.

Caso de dos factores primos

En esta sucesión de números arolmar https://oeis.org/A187073 es fácil encontrar los términos que son semiprimos:

21, 33, 57, 69, 85, 93, 129, 133, 145, 177, 205, 213, 217, 237, 249, 253, 265, 309, 393, 417, 445, 469, 489, 493, 505, 517, 553, 565, 573,…



Vemos en el listado que todos se descomponen en dos factores primos distintos (el 1 que les acompaña es el exponente). En ellos la suma de sus dos factores primos es evidente que equivale al doble de otro primo. Consecuencia inmediata es que en estos números la suma de sus factores primos presenta al menos dos soluciones para lo exigido por la conjetura de Goldbach. Por ejemplo, 205=5*41, y 46=5+41=23+23=2*23

Ambos primos han de ser del tipo 4k+3 o del tipo 4k+1, pues si fueran de tipos distintos, su suma sería equivalente a 4k+1+4p+3=4(k+p+1), un múltiplo de 4 que no puede ser doble de un primo. Por ejemplo, en 133=7*19, 7=4*1+3 y 19=4*4+3, y en 445=5*89, 5=4*1+1 y 89=4*22+1, ambos del mismo tipo. Sin embargo, respecto al 6, los factores admiten todas las variantes, como puedes comprobar fácilmente.

Por otra parte, los dos factores de un semiprimo arolmar no pueden ser primos consecutivos, ya que la media de ambos está intercalada entre ellos.

Así que a cada número de esta lista le corresponderá un número primo, la mitad de la suma de sus factores. Esta relación no tiene que ser biyectiva. Por ejemplo, los términos 93, 145 y 253 se corresponden con el 17. Compruébalo con sus factores primos:

93    [3,1][31,1]       17
145 [5,1][29,1]       17
253 [11,1][23,1]     17

Número arolmar correspondiente a un primo

Se puede ver la correspondencia desde el punto de vista opuesto. Podemos tomar un número primo, calcular su doble y descomponerlo en todas las soluciones posibles como suma de primos diferentes. Cada una de ellas, multiplicando ambos primos, producirá un arolmar.

(Ver en el documento de Rafael Parra http://www.hojamat.es/parra/arolmar.pdf la explicación de este proceso con el estudio de varios casos)

Por ejemplo, tomemos el 23. Su doble, 46, se puede descomponer como suma de dos primos diferentes así: 46=3+43=5+41=17+29. Si ahora multiplicamos los dos factores de cada descomposición, nos resultarán tres números arolmar: 129, 205 y 493.

La correspondencia entre números primos y números arolmar semiprimos no es biyectiva.

En el documento de Rafael Parra se consideran todos los casos similares, se descompongan en dos o en más sumandos primos. Ahora nos limitaremos al caso de dos factores.

Número arolmar mínimo y asociados para un primo dado.

Siguiendo las ideas del documento citado de Rafael Parra, si de todos los números arolmar que se corresponden con un primo dado eligiéramos el mínimo (en el ejemplo anterior el 129) sí podríamos establecer la correspondencia biyectiva. Es fácil ver, como sugiere Rafael Parra, que basta elegir el que posea el número primo menor en una descomposición en dos factores, en el ejemplo 129=3*43.

Con un poco de álgebra es fácil demostrarlo: llamemos P a ese factor primo mínimo (será P<N/2) y N al doble del primo dado. El número arolmar generado será entonces P(N-P), mientras que todo otro número de ese tipo tendrá la expresión (P+k)(N-P-k) con 0<P+k<N/2 (si suponemos los factores ordenados). Restamos ambas expresiones:

(P+k)(N-P-k)- P(N-P)= PN-PP-Pk+kN-kP-kk-PN+PP=k(N-P-P-k)=k(N/2-P+N/2-(P+k))>0

Luego (P+k)(N-P-k) es siempre mayor que P(N-P). Si aumentamos el número de factores, el número arolmar correspondiente sería aún mayor, luego este semiprimo con un primo mínimo es el menor posible.

Así que el número arolmar mínimo asociado a cualquier número primo es el que contiene el factor primo menor posible en una descomposición con dos factores. Podemos resumir el proceso mediante este esquema:



Tomamos el primo 73, le calculamos el doble 146, ensayamos sumas de primos para él y nos quedamos con la que presente el menor primo. En este caso 7+139. Multiplicamos ambos y nos resulta 973.

Dado un primo P y su número arolmar asociado R, se tendrá, si sólo posee dos factores, que R=(P+K)(P-K), siendo ambos paréntesis primos, es decir P2-K2 con un K adecuado, siempre par. Por tanto R estará siempre acotado por P2

Rafael Parra ha llamado a estos números mínimos “primos arolmar”, y al resto, no minimales, “asociados”. En la secuencia publicada por él (http://oeis.org/A191683) figuran todas las soluciones para cada primo mayor que 3 y para cada número de sumandos:

21, 33, 57, 69, 93, 105, 129, 177, 195, 213, 217, 237, 249, 265, 309, 393, 417, 445, 465, 483, 489, 565, 573, 597, 633, 645, 669,…

Es evidente que es una subsecuencia de la sucesión A187073. Como nos hemos comprometido en esta entrada a un desarrollo limitado a los semiprimos, seguimos con esa condición. Veremos lo siguiente:

A cada número primo le corresponde un único “primo arolmar” semiprimo

Esto es fácil de entender, pero la característica de ser únicos convierten a estos números en imágenes de una función. Podemos definir PRIMAROL a la función que hace corresponder a cada número primo el semiprimo ya definido.

Un ejemplo:

Elegimos el número primo 103. Su doble, 206, admite estas descomposiciones de dos sumandos primos (recuerda que nos limitamos a este caso, pero podrían ser 3 o más)

7 199 1393
13 193 2509
43 163 7009
67 139 9313
79 127 10033
97 109 10573

Elegimos el mínimo, 1393, y lo definiremos como primarol(103)=1393.

La formación de PRIMAROL queda clara con el esquema incluido más arriba. No está definida ni para el 2 ni para el 3. La razón es que detrás de todo esto está la conjetura de Goldbach. Esta correspondencia biyectiva nos demuestra que los conjuntos de números arolmar y primos arolmar es infinito, hecho que se podía adivinar observando su evolución.

Implementación en una hoja de cálculo

No es difícil implementar esta función en Basic si cuentas con la función ESPRIMO

Public Function primarol(a)
Dim i, p, k, n
Dim novale As Boolean

k = 2: p = 0: n = a * 2
novale = True
While novale And k < n / 2 ‘Buscamos la primera suma de primos
If esprimo(k) And esprimo(n - k) Then
p = k * (n - k) ‘Hemos encontrado la suma. Como sólo queremos el mínimo, paramos.
novale = False ‘Señal de parada
End If
k = k + 1
Wend
primarol = p ‘La función recoge el producto más pequeño
End Function

Esta función no conserva el orden, pues a mayor número primo no le corresponde una imagen también mayor. Por ejemplo, el 217 aparece como imagen de 19 y más adelante el 129 como imagen de 23

La función primarol no es creciente.

Lo puedes comprobar con este gráfico de dispersión:



El máximo que destaca corresponde al primo 1321, cuyo doble 2642 se descompone en la suma 2642=103+2539, que da el semiprimo minimal 261517=103*2539

Estudio con PARI

Para quien tenga una cierta experiencia en el tema, no es difícil traducir el código de primarol a PARI:

primarol(a)={local(k=2,p=0,n=a*2,v=1); while(v>0&&k<n/2, if(isprime(k)&&isprime(n-k),p=k*(n-k);v=0);k+=1);p}

Con esta definición podemos, por ejemplo encontrar la imagen del primer primo de 7 cifras:

Primarol(1000003)=6000009=3*2000003

Relación con ternas de primos en progresión

Es evidente, según lo tratado hasta ahora, que los números arolmar semiprimos se basan en una progresión aritmética formada por una terna de números primos, pues en ese caso el primo central será la media aritmética de los otros dos. Así por ejemplo, 3, 13 y 23 forman el número arolmar semiprimo 3*23=69 y, al contrario, cualquier otro elemento de la sucesión, como 669=3*223, da lugar a la progresión 3, 113, 223. Así que, de paso, hemos comprobado que existen infinitas ternas de primos en progresión aritmética.

Un caso especialmente llamativo es el de los primos equilibrados: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977 (http://oeis.org/A006562)

En ellos los integrantes de la terna son el anterior y posterior primo al central y darán, según consideraciones que hemos visto en párrafos anteriores, el mayor número arolmar correspondiente al primo central. Formamos una tabla:



En ella vemos el rápido crecimiento, por ser maximales los números generados por este procedimiento.

jueves, 7 de abril de 2016

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo: Opperman

Conjetura de Oppermann

Esta conjetura está relacionada con otras tres que ya hemos estudiado en este blog:

Legendre 

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/04/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html

Andrica

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html

Brocard 

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/05/conjetura-de-brocard-y-otras-cuestiones.html

La primera afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 existe siempre un número primo, la de Andrica que “La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1” y la de Brocard que “Para n>1, si representamos como p(n) al enésimo número primo, se verificará que entre p(n)2 y p(n+1)2 existirán al menos cuatro números primos”.

En las entradas enlazadas se estudian las tres y sus relaciones mutuas.

Conjetura de Oppermann

Esta conjetura está muy relacionada con las tres referidas, y es una condición más fuerte que ellas. Fue establecida por Opperman en 1882.

Afirma lo siguiente:

Para todo número entero x>1, existe al menos un número primo entre x(x - 1) y x2, y otro primo entre x2 y x(x + 1).

El que tenga un carácter más fuerte proviene de que x(x-1)>(x-1)2 y  x(x+1)<(x+1)2, con lo que los intervalos en los que se ha de encontrar un número primo se acortan.

Observamos que tanto x(x-1) como x(x+1) son números oblongos, y además consecutivos, siendo x2 la media de ambos.

Al igual que nos ocurrió con la conjetura de Legendre, si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Opperman se podría expresar así:


Lo interesante aquí es que las desigualdades son estrictas, lo que indica que existen números primos intercalados, que es lo que afirma la conjetura.

Comprobación de la conjetura

Como en anteriores entradas de esta serie, usaremos nuestra herramienta conjeturas.xlsm, que puedes descargar desde la página

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm

Esta hoja posee algunas funciones interesantes, aunque el trabajo de comprobación depende de nosotros. Hemos construido un esquema que nos permitirá la comprobación. Puedes intentarlo también. El nuestro es así:



En primer lugar se ha diseñado la cabecera, de forma que contenga los tres valores que figuran en la conjetura, N(N-1), N2 y N(N+1). Entre ellos se han reservado dos columnas para que aparezcan los números primos que anuncia la conjetura.

La estructura es muy sencilla. Todo depende del número que escribamos en la parte superior izquierda, en la imagen el 100. Debajo de él figurarán automáticamente los siguientes. Esto no es necesario, bastaba con un número, pero así percibimos mejor la potencia de la conjetura. Hemos programado que cada celda sea igual a la anterior más una unidad.

Las columnas N(N-1), N2 y N(N+1) son fáciles de rellenar en una hoja de cálculo y no las explicaremos. Las correspondientes a los primos que se esperan las hemos rellenado con la función PRIMPROX, que nos da el próximo primo mayor que un número. En la segunda columna aparecerá PRIMPROX(N(N-1)) y en la cuarta PRIMPROX(N2).

Esta función nos da el primer primo entre esos números, pero con eso nos basta, ya que sólo deseamos resaltar que existe uno al menos. Si hubiera más, aparecería el primero de ellos.

Bastará ahora elegir números más pequeños o mayores para que verifiquemos la conjetura en casos particulares.



Forzamos la hoja de cálculo con números mayores:



Si forzamos un poco más, ya no podemos contar con el cálculo en números enteros, y la hoja nos da error:



Esto es normal y lo tenemos asumido en este blog. No pretendemos grandes cálculos, imposibles con el formato de coma flotante, sino crear esquemas que nos ayuden a entender mejor las conjeturas.

La conjetura afirma la existencia de un número primo, pero en la práctica pueden aparecer muchos más. En la imagen que sigue hemos usado la función PRIMENTRE, que también está incluida en la hoja Conjeturas, y se puede observar que el número de primos es considerable.



Relación con la espiral de Ulam

Si observamos una imagen de la espiral de Ulam, nos daremos cuenta de que la conjetura que estudiamos viene a decir que cada lado de dicha espiral ha de contener un número primo.



Ya sabemos que pueden existir más. La imagen está tomada de nuestro documento

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm

que puede tener los vértices algo desplazados, pero se ven con claridad los distintos oblongos y cuadrados de cada lado y los primos comprendidos entre ellos.

Conjetura de Schinzel

Se puede afinar más la conjetura de Opperman. Schinzel conjeturó que para x>8, existe al menos un número primo entre x y x+(lnx)2.

Te invitamos a comprobarlo. En la imagen puedes ver cómo lo hemos hecho en este blog: