lunes, 19 de enero de 2015

Suma con el próximo primo


En estas dos entradas anteriores sumamos dos primos consecutivos e investigamos la naturaleza de esa suma y en algunos casos de su mitad (media de ambos):

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/06/suma-de-dos-numeros-primos-consecutivos.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/06/suma-de-dos-numeros-primos-consecutivos_29.html


Hoy podríamos buscar propiedades similares pero sin exigir que el primer número del par sea primo, pero sí usando el primer primo que le sigue (o que le antecede). Comenzaremos sumando cada número con el primer primo que le sigue e investigaremos si también es primo.

Suma con el primo siguiente

Dado un número natural cualquiera, buscaremos menor primo superior a él. Nuestra función de hoja de cálculo PRIMPROX(N) nos serviría en este caso, por lo que en realidad estudiaremos la suma N+PRIMPROX(N). La tienes contenida en la hoja Conjeturas.xlsm

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/conjeturas.xlsm

Búsqueda de primos

Un número, si es primo, no puede formar otro primo sumado con el siguiente, salvo el caso de 2+3=5, pero sí lo forma si no es primo. Buscamos, pues, números no primos que al sumarles el mínimo primo mayor que ellos sí produzcan suma prima. Por ejemplo, el 14 con su próximo primo 17 suma otro primo, el 31.

Los números con esta propiedad son

0, 1, 2, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 34, 36, 38, 48, 50, 54, 64, 68, 78, 80, 84, 94, 96, 98, 104, 110,114,
124, 132, 134, 138, 144, 154, 156, 164, 174, 182, 188, 198, 208, 210, …

En todos ellos al sumarles su próximo primo obtendremos otro número primo. Vemos que son frecuentes, pero otros muchos no cumplen la propiedad. Así, 24 sí la cumple, porque 24+29=43, que es primo, pero 22+23=45, que es compuesto. Es trivial descubrir que todos son pares salvo el caso especial 1.

En realidad estamos exigiendo otra propiedad, y es que si llamamos D a la diferencia entre N y su próximo primo, si sumamos D a 2N también resulta otro primo (no necesariamente PRIMPROX(2N)). Es fácil justificarlo y podemos representarlo en este tipo de esquema, que usaremos más adelante también, y que hemos implementado en hoja de cálculo para realizar pruebas.

Insertamos el correspondiente al 38:


Los números de la sucesión los hemos obtenido con Excel, pero puede resultar más sencillo acudir a PARI:

{for(i=0,10^3,k=i+nextprime(i+1);if(isprime(k),print1(i,", ")))}   

Su funcionamiento se entiende fácilmente. El único detalle a explicar es que para encontrar el próximo primo hay que basarse en i+1 y no en i.

Lo hemos usado para publicar la sucesión en https://oeis.org/A249624

Es evidente que, salvo el 1 son todos pares, y algunos, como el 8 y el 64, potencias de 2. Podíamos afirmar que estos números son diferencias de primos, pero lo importante es que esas diferencias son las mínimas, ya que no existen más primos entre ellos.  Sin esa condición, estaríamos en las condiciones de la conjetura de Polignac, que afirma que para todo 2k existen dos primos tales que q-p=2k. Entonces, si la conjetura es cierta, todos los pares cumplirían la condición impuesta.

Estos son los valores de esas diferencias:

1, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 1, 3, 5, 3, 5, 3, 3, 1, 3, 5, 3, 1, 3, 3, 3, 13, 3, 5, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 5, 9, 3, 1, 3, 1, 7, 3, 1, 3, 3, 5, 5, 3, 1, 9, 13, 7, 1, 3, 3, 9, 3, 1, 1, 3, 7, 1, 3, 1, 5, 7, 7, 9, 9, 5, 3, 1, 3, 7, 3, 3, 11, 5, 7, 3, 7, 1, 5, 11, 9, 3, 13, 3, 1, 5, 3, 3, 1, 3, 5, 5, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 1, 5, 1, 3, 9, 5, 7, 3, 1, 3, 3, 3, 7, 3, 7, 3, 11, 9, 5, 1, 5, 1, 9, 13, 9, 7, 3, 13, 7, 1, 3, 13, 3, 7, 7, 3, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 5, 3, 3, 1,…

Parecen recorrer todos los números impares. En nuestra lista sólo se llega hasta el 13 ¿Aparecerán al final todos?¿Podrá ser cualquier impar diferencia entre un número par y su próximo primo si ambos suman otro primo?

Hemos implementado una función que a cada número impar (no analizamos en ella si lo es o no) le hace corresponder el mínimo número natural que sumado con él produce un primo en el que la suma de ambos también es primo

Public Function difconprim(n)
Dim i, d, dd, p
i = 2
d = 0
While d = 0 And i < 10 ^ 6
p = primprox(i)
If esprimo(p + i) And p - i = n Then d = i
i = i + 2
Wend
difconprim = d
End Function

Recorre los números pares (variable i) hasta un tope de 10^6 (para números mayores habría que aumentarlo) y estudia si el próximo primo p cumple que p+i es primo y la diferencia entre ambos es el número n dado. No está completo ni optimizado el código. Sólo pretendemos establecer una conjetura. Aquí tienes la tabla para los primeros números impares:

Por ejemplo, para la diferencia 21 el primer número par que la produce es el 1130, en el que se dan estos datos:
,


Si a 1130 le sumamos la diferencia 21 se convierte en el número primo 1151, cuya suma con el anterior 1130+1151=2281, también es un número primo.

Puedes construirte un esquema similar. La función PRIMPROX la encontrarás en la hoja Conjeturas referenciada más arriba. El problema que se presenta es que las hojas de cálculo se ralentizan cuando el valor buscado tiene muchas cifras. Así, entre los números impares menores que 100 la solución mayor es la correspondiente al 97, que es nada menos que 3240996. Lo puedes ver en este esquema:



Para paliar esta lentitud hemos realizado también la búsqueda con PARI

difconprim(n)={local(i=2,d=0,p=2);while(d==0&&i<10^7,p=nextprime(i);if(isprime(i+p)&&(p-i==n),d=i);i+=2);return(d)}
{k=1;while(k<100,write("final.txt",k," ",difconprim(k));k+=2)}

Si tienes preparado en la misma carpeta un archivo de nombre “final.txt”, este código te crea en él un listado similar al que sigue (hemos recortado la parte de los números anteriores a 100)



Parece que nos podemos atrever a expresar una conjetura:

Cualquier número impar es diferencia entre cierto número y su próximo primo, en el caso en el que la suma de ambos también sea prima.

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