viernes, 30 de enero de 2015

Suma con el primo anterior


En la entrada anterior estudiábamos la suma de un número con su próximo primo y encontramos los números en los que esa suma es prima. Recomendamos su lectura previa a la de la actual. La misma cuestión se puede abordar si le sumamos el anterior primo más cercano. Lo desarrollaremos en esta entrada. Al igual que con el próximo primo se puede plantear que sea prima la suma con el anterior. Hay muchas soluciones. Las primeras son:

3, 4, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 42, 46, 50, 54, 56, 66, 70, 76, 78, 84, 90, 92, 100, 114, 116, 120, 126, 130, 132, 142, 144, 156, 160, 170, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 202, 210, 220, 222, 226, 232, 234, 240, 246, 250, 252, 276, 280, 282, 286, 288, 294, 300, 306, 310…

Todos ellos, salvo los primeros casos especiales, son pares, como era de esperar. Si les sumamos el primo más cercano por la izquierda el resultado también es primo. Así, 282 tiene como primo anterior el 281, y la suma de ambos, 563, es prima. Los hemos publicado en https://oeis.org/A249666

Para obtenerlos con PARI sólo efectuaremos un pequeño cambio:

{for(i=3,10^3,k=i+precprime(i-1);if(isprime(k),print1(i,", ")))}

También podemos expresar esta propiedad con un esquema similar al de la cuestión anterior:



Vemos el ejemplo de 156, en el que se cumple que tanto N-D como 2N-D son primos.

Al igual que en la cuestión anterior, podemos obtener un listado de las diferencias entre el número natural dado y su anterior primo (con suma de ambos prima)

Diferencias

2 1 1 1 3 1 3 3 1 1 5 1 3 3 1 3 5 3 3 5 1 1 3 3 1 3 7 13 3 1 3 5 5 3 3 1 3 1 5 1 3 3 11 9 11 3 3 1 1 5 9 1 5 3 1 3 5 1 7 13 3 7 9 13 3 9 3 3 1 5 5 3 3 3 7 3 5 9 1 1 3 1 3 3 7 3 1 3 1 3 3 5 15 17 5 3 9 3 3 9 1 3 3 11 1 3 3 1 1 5 1 7 7 5 9 1 5 5 3 1 3 7 1 3 7 13 5 9 3 7 1 5 5 9 3 3 7 3 9 13 15 1 9 3 3 1 7 7 5 3...

También aquí nos podemos preguntar si están todos los números enteros positivos impares en la lista. Conjeturamos que sí, y hemos confeccionado un listado similar al del caso precedente, en el que encontramos para cada caso el valor del número que consigue una suma prima en las condiciones dadas y que la diferencia con el sumando primo sea la dada.

Primera ocurrencia de diferencia dada




En este caso también formularemos una conjetura:

Cualquier número impar es diferencia entre cierto número y su anterior primo, en el caso en el que la suma de ambos también sea prima.


Números que cumplen ambas condiciones

Basta recorrer las dos listas de números que hemos considerado para darnos cuenta de que existe una intersección entre ambas. Son aquellos números que forman suma prima tanto con el siguiente primo como con el precedente. Son estos:

6, 24, 30, 36, 50, 54, 78, 84, 114, 132, 144, 156, 174, 210, 220, 252, 294, 300, 306, 330, 360, 378, 474, 492, 510, 512, 528, 546, 560, 594, 610, 650, 660, 690, 714, 720, 762, 780, 800, 804, 810, 816, 870, 912, 996, 1002, 1068, 1074, 1104, 1120, 1170, 1176, 1190, …

Por ejemplo, dado el número 996, su siguiente primo es 997 y su suma, 1993, es un número primo. En dirección opuesta, el primo precedente a 996 es 991, y su suma. 1987, también es prima. Los hemos publicado en https://oeis.org/A249667

Los hemos encontrado con hoja de cálculo y con PARI

Código PARI

{for(i=3,2*10^3,k=i+nextprime(i+1);q=i+precprime(i-1);if(isprime(k)&&isprime(q),write1("final.txt",i,", ")))}

También para ellos es válido el esquema que estamos usando, en este caso, doble:



Es evidente que, salvo en los primeros términos de la sucesión, las diferencias son impares (en el ejemplo 5 y 7). Convierten el par de números primos 997 y 1009 en el par de abajo (1999,2011) mediante una traslación de valor 1002. Estos hechos son meras curiosidades sin valor teórico, pero quedan visualmente muy bien.

¿Existirán términos de esta sucesión en los que la diferencias con los primos más cercanos sean iguales?

Es un caso interesante, pues el número dado sería el promedio de dos números primos consecutivos y su doble también, pero no necesariamente consecutivos.

Es evidente que sí existen, como sería el caso del 144 cuyos primos más próximos son 139 y 149, cumpliéndose que 144-139=149-144=5 y que tanto 144+139=283 como 144+149=293 son primos.

No cansamos con un nuevo código. Sólo señalaremos que los números buscados son

6, 30, 50, 144, 300, 560, 610, 650, 660, 714, 780, 810, 816, 870, 1120, 1176, 1190, 1806, 2130, 2470, 2490, 2550, 2922, 3030, 3240, 3330, 3390, 3480, 3600, 3620, 3840, 4266, 4368,...
( https://oeis.org/A249676)

Todos ellos son compuestos que equivalen al promedio entre dos primos consecutivos y que con ambos forman suma prima. Para ellos el esquema propuesto se hace más simétrico: