domingo, 28 de diciembre de 2014

Bienvenida al 2015


Todos los años por estas fechas solemos saludar al nuevo año con cálculos curiosos referentes a su número. También es tradicional que nuestro colaborador Rafael Parra Machío nos envíe un estudio más profundo, acompañado de alguna explicación teórica monográfica. Este año, por circunstancias personales, no le va a ser posible, pero recordamos algunos de esos documentos, incluidos en nuestra página hojamat.es.

http://www.hojamat.es/parra/PROPIEDADES2014.pdf
http://hojamat.es/parra/prop2013.pdf
http://www.hojamat.es/parra/prop2012.pdf

Nosotros nos moveremos en un nivel más bajo, resaltando algunos desarrollos curiosos basados en el número 2015. Su único objetivo es entretener y abrir caminos para quien desee profundizar, pero con ellos no aprenderéis muchas más Matemáticas.

Nuestros desarrollos preferidos

Todos los meses de diciembre incluimos en la portada de hojamat.es el desarrollo del nuevo año que nos llame más la atención. En el 2014 fue



Para el 2015 lo tenemos muy fácil, pues su desarrollo en factores primos nos brinda un producto capicúa en sus cifras. Lo elegimos este año como el preferido:


Es simple y simétrico, construido sólo con las tres primeras cifras impares, por lo que supera en atractivo a los siguientes.

Derivado de él tenemos otro que depende de dos potencias de 2:

2015= (25-1)(26+1)

También merece ser destacado como el anterior, ya que su estructura es igualmente sencilla y simétrica, aunque en menor grado que la precedente.

Muy sintético y atractivo es este desarrollo, formado por tres números consecutivos:

2015=31×(32+33)

Presentados estos desarrollos, pasamos a capítulos ya conocidos por los años anteriores:


Curiosidades

Con cuadrados y triángulos

Como todos los números naturales, 2015 es suma de tres triangulares y de cuatro cuadrados.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_cuadrados
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_triangular

Aquí tienes una suma con tres triangulares:

2015 = T28+T32+T46 = 28×29/2+32×33/2+46×47/2

2015 se puede expresar de muchas formas como suma de cuatro cuadrados. Presentamos algunas:

2015=152+192+232+302=142+172+212+332=152+182+252+292=…


Encontradas

Estas que siguen las he descubierto en http://oeis.org/ y después las he adaptado:

2015 equivale a la sexta parte del número triangular 12090=155*156/2. Por tanto se cumple que 2015=(1+2+3+4+…155)/6.

Esta es sorprendente: 2015 es el promedio de los 77 primeros cuadrados: 2015=(1+4+9+16+…5929)/77

Si a 2015 le restas todas las potencias de 4 que puedas (4^1, 4^2,…4^5), siempre resulta un número primo: 2011, 1999, 1951, 1759, 991.

2015 es un número de Lucas-Carmichael. Si a sus factores primos 5, 13 y 31 les sumas 1, resultan 6, 14 y 32, divisores del 2016.

2015 se puede expresar como una diferencia de cubos de números enteros positivos: 2015=14^3-9^3

La suma de las cifras de 2015 (8) coincide con el número de sus divisores, {2015, 403, 155, 65, 31, 13, 5, 1}

Si llamamos PHI a la indicatriz de Euler, 2015 cumple que PHI(2015)=PHI(2017)-PHI(2016), ya que 144=2016-576

Otras curiosidades

2015 es un número libre de cuadrados, pero la suma de sus factores primos, 13+5+31=49, es el cuadrado de 7.

El mayor divisor de 2015 es 403, número heptagonal que proviene de un producto palindrómico: 403=13×31

Todos los divisores de 2015 son impares, libres de cuadrados y suman 2688. Sus cuadrados suman 4252040.

2015 no puede ser desarrollado como suma de tres cubos

Sistemas de numeración

2015 es palindrómico en base 2: 2015(10=11111011111(2

Esto proviene de que 2015=211-25-20


2015 se expresa en base 4 como un número concatenado consigo mismo:

2015(10=133133(4

Esto es porque hemos señalado que 2015= (25-1)(26+1) . Desarrollamos:





Por una razón similar, también tiene forma de número concatenado en base 8:

2015(10=3737(8





Por último, en base 12 concatena cifras dobles: 2015=11BB(10



2015 con las cifras de números notables

En los últimos años hemos incluido, cuando ha sido posible, la expresión del año nuevo con cifras de números notables. En el presente hemos ampliado el catálogo y acompañamos cada cálculo con un enlace a la teoría de ese número notable:

PI





http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80

2015 con las primeras cifras de PI:

2015=(3+1+41)×59-(2+6+5+3)×5×8



E






http://mathworld.wolfram.com/e.html

2015 con las primeras cifras de E:

2015=271×8-(2+81)-(8+2)-(8+4)×5


PHI








http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

2015 con las primeras cifras del número de oro PHI (solución de x2-x-1=0):

2015=1618+0+339+8×8-(7-(49+8)/(9+48))



Número de plata






Es una solución de la ecuación x2-2x-1=0

http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html

Desarrollo de 2015 con sus primeras cifras:

2015=2414-(2×(1+35)×6-(23+7+3))




Número de bronce
















Es una solución de la ecuación x2-3x-1=0

http://matematicaseducativas.blogspot.com.es/2012/10/el-numero-de-oro-y-otros-numeros.html

2015 con sus primeras cifras

2015=3302-((77+56+3+7)×(7+3)/(1+9)×9)


Número plástico

Es la  solución real de la ecuación  x3-x-1=0. Lo presentamos en nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/11/sucesion-de-perrin.html



Desarrollo del 2015 con sus primeras cifras:

2015=1324+718+0-(45-1×(1+2+7)-8)


Otros desarrollos curiosos


Se lleva bien con las cifras de los primeros primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29:
2015=2357-111-(3+1)×(71+9)+2+3×29

Desarrollo con los números del 1 al 10:
2015=(1+2+3+4+5+6)×(7+89)-1-0

Al 2015 lo engendra el año anterior:
2015=2014-2+0-1+4


No podían faltar los pandigitales:

2015=(7+91+0)×(2+8+5+6)-43
2015=2×(39+0+4+5)×(8+6+7)-1
2015=(4+1+57)/2×68-(3+90)

Tampoco olvidamos los monocifra. Unos resultan más cortos y otros más largos, porque no es tarea fácil y a veces no se pueden simplificar las expresiones.

2015=999+999+9+9-9/9
2015=(8×8+8/8)×(8+8+8+8-8/8)
2015=7×7×7×7-7×7×7-7×7+7-7/7
2015= (6+6+6)×(6+666)/6-6/6
2015= (55+5×5)×5×5+(5+5+5)
2015= (4×4×4+4/4)×(4×(4+4)-4/4)
2015= (33+33-3/3)×(33-3!/3)
2015=2222-222+22-2-2-2-2/2
2015= (11×(11+1+1)+11+1)×(11+1+1)

Y, por último, autogeneraciones.
El 2015 se autogenera con más o menos truco:

2015= 2015-2×0×15
2015 =(2+0+152+0+1)×(5+2+0+1+5)
2015=(20-15)×((20+1+52+0)×(1+5)-20-15)
2015=2015×(2×(0+1+5+2)-0-15)

Feliz año 2015



2 comentarios:

Herminio López dijo...

Enhorabuena por todo el desarrollo del número! Y, sobre todo, Feliz Año MMXV!

Antonio Roldán Martínez dijo...

Muchas gracias, Herminio. Feliz año.